如图,已知在△ABC中,BE,CF分别是AC,AB边上的高,在BE延长线上截取BM=AC,在CF延长线上截取CN=AB

来源：学生作业帮编辑：灵鹊做题网作业帮分类：数学作业时间：2024/04/26 13:55:23

如图,已知在△ABC中,BE,CF分别是AC,AB边上的高,在BE延长线上截取BM=AC,在CF延长线上截取CN=AB
求证1 AM=AN 2 AM⊥AN

1、
因为BE、CF为三角形ABC的高
所以∠ACN＋∠BAC＝90°,∠ABM＋∠BAC＝90°
所以∠ABM＝∠ACN
又因为AB＝CN,BM＝AC,
所以△ABM≌△NCA（SAS）
所以AM＝AN,
2、
因为△ABM≌△NCA（SAS）
所以∠BAM＝∠CNA
因为∠CNA＋∠NAF＝90°
所以∠BAM＋∠NAF＝90°
即∠MAN＝90°
(1)由两个直角和一组对角可知：∠1=∠2
又∵AB=CN BM=AC
∴△ACN全等于△MBA
∴AM=AN
(2)由（1）知∠N=∠BAM
∵∠N+∠NAB=90°
∴∠BAM+∠NAB=90°
即∠NAM=90°
∴AM⊥AN
分别对三角形AMB和ANC运用余弦定理
AM2＝AB2＋BM2－2AB×BMcos∠1 (1)
AN2＝CN2＋AC2－2CN×ACcos∠2 (2)
由BM＝AC且 CN＝AB （1）－（2）
得AM2-AN2＝2AB×AC（cos∠2－cos∠1）
AM-AN=2AB×AC（cos∠2 －cos∠1）/（AM+AN）
又∠1 、∠2为锐角,
当∠1＞∠2时,cos∠2 －cos∠1＞0 AM＞AN
当∠1＝∠2时,cos∠2 －cos∠1＝0 AM＝AN
当∠1＜∠2时,cos∠2 －cos∠1＜0 AM＜AN