函数f在某一点可导,那么函数的导函数在此点连续吗?

来源：学生作业帮编辑：灵鹊做题网作业帮分类：数学作业时间：2024/05/02 17:16:32

函数f在某一点可导,那么函数的导函数在此点连续吗?
如题,

不一定.一个很经典的反例是f(x)=
x^2×sin(1/x),x≠0时
0,x=0时.
f(x)在x=0处可导,f'(0)=0,但是lim(x→0) f'(x)不存在
再问：如果此点可导，那么此点左右导数应该是存在且相等的，那么请问左右导数和导函数在此点的左右极限什么关系呢？谢谢
再答：一般情况下，两者之间没有直接关系。上面那个例子就是左右导数存在，但导函数的左右极限不存在。比如g(x)= x，x≥0时 x+1，x＜0。 g(x)在x=0处有右导数无左导数，导函数的左右极限存在。
再问：看来我真的晕了；我在书上看到一句话，就是说，如果一个函数在某一点的空心邻域内可导，如果其导函数的左极限存在，那么其就等于此点的左导数；此句话的题设和您给的题设有什么不同吗？我觉得您给的函数在x=0的空心邻域也是可导的啊？
再答：你说的那个结论实际上是导数极限定理，还要有个前提：f(x)在该点连续。我举的那个例子是不连续的情形
再问：谢谢，我看了一下这个定理的条件；如果函数只是在某一点的右邻域内（x0，x0+g），可导，并其导函数的右极限存在，还能得出导数的右极限等于这一点的右导数吗？我一辅导书上看的是可以的；不过其没有给这一点的连续性啊；
再答：没有连续这个条件是不行的。我前面举的例子不就说明了这一点。必须有三个条件：f(x)在x0的邻域内连续，在去心邻域内可导，lim(x→x0) f'(x)存在，则f'(x0)存在，且f'(x0)=lim(x→x0) f'(x)。如果把极限换成左右极限，则结论是左右导数存在。

函数f在某一点可导,那么函数的导函数在此点连续吗? 如果函数某一点的导数存在,那么导函数在这一点连续吗只要函数连续,在某一点的极限一定存在? 一个函数在某一点的导数描述了这个函数在这一点附近的变化率,那么为什么还需要函数在这一点连续呢? 函数在某一点可导,其导函数在这一点一定连续吗? 已知导函数在定义域的某一点a,那么导函数在a点的左右极限,同该点导数f'(a)的左右导数有如果一个函数在某一区间内可导,那么其导函数在这个区间内连续吗? 请问导函数在某一点连续与否是否会影响原函数的可导性呢?按照原函数可导的定义的充要条件是函数的左右导数存在且相等,那么只要一个连续函数的导函数必在某一点连续,怎么证啊, 高数.某函数的导函数在一点的极限存在,那么在这个点他的左导数和右导数存在,这个函数在这个点连续吗,如果不连续,那么连续的为什么D错误?函数在某一点连续难道不可导吗? 函数在某点存在二阶导数,那么该点一阶导函数可导且连续,推出原函数在该点可导.这个结论正确吗?