（2011•东城区模拟）如图，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是正方形，侧棱与底面垂直，点O是正方形A

来源：学生作业帮编辑：灵鹊做题网作业帮分类：综合作业时间：2024/04/29 10:59:50

（2011•东城区模拟）如图，在四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD是正方形，侧棱与底面垂直，点O是正方形ABCD对角线的交点，AA₁=2AB=4，点E，F分别在CC₁和A₁A上，且CE=A₁F．
（Ⅰ）求证：B₁F∥平面BDE；
（Ⅱ）若A₁O⊥BE，求CE的长；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求二面角A₁-BE-O的余弦值．

（2011•东城区模拟）如图，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是正方形，侧棱与底面垂直，点O是正方形A

（Ⅰ）证明：取BE₁=CE，连接EE₁和AE₁

∴EE₁=BC，EE₁∥BC，BC=AD，BC∥AD，
∴EE₁=AD，EE₁∥AD．
∴四边形AE₁ED为平行四边形，
∴AE₁∥DE，
在矩形A₁ABB₁中，A₁F=BE₁，
∴四边形B₁FAE₁为平行四边形．
∴B₁F∥AE₁，B₁F∥DE．
∵DE⊂平面BDE，B₁F⊄平面BDE，
∴B₁F∥平面BDE．--------（4分）
（Ⅱ）连接OE，

在正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁⊥平面ABCD，
∴AA₁⊥BD，BD⊥AC，
∴BD⊥平面A₁AO，
∴BD⊥A₁O．
由已知A₁O⊥BE，得A₁O⊥平面BDE．
∴∠A₁OE=90°，∠A₁OA+∠EOC=90°，
在△A₁AO与△OCE中，∠EOC=∠OA₁A，∠ECO=∠OAA₁，
∴△A₁AO∽△OCE
∴
A1A
OC＝
AO
CE，CE＝
1
2．---------（9分）
（Ⅲ）以A为原点，AB，AD，AA₁所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系

．B(2，0，0)，E(2，2，
1
2)，A1(0，0，4)，O(1，1，0)．

OA1＝(−1，−1，4)，

A1B＝(2，0，−4)，

A1E＝(2，2，−
7
2)，
由（Ⅱ）知

OA1为平面OBE的一个法向量，
设n=（x，y，z）为平面A₁BE的一个法向量，
则