灵鹊做题网高数题,用斯托克斯公式计算曲线积分
来源：学生作业帮 编辑：灵鹊做题网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/04/29 18:20:14
高数题,用斯托克斯公式计算曲线积分
线积分的积分符号打不出来ydx+zdx+xdz,线为曲线X+y+z=0,X2+y2+z2=a2,那个2是平方,其方向是从x轴正向看去为逆时针的.
线积分的积分符号打不出来ydx+zdx+xdz,线为曲线X+y+z=0,X2+y2+z2=a2,那个2是平方,其方向是从x轴正向看去为逆时针的.
按照原题是∮ydx+zdy+xdz来做：
把斯托克斯公式中的各个对象对号入座：其中
①P=y,Q=z,R=x,
②积分曲面∑就取X+y+z=0与X2+y2+z2=a2的交线所围的平面,
③注意Q对z的偏导数=1,R对x的偏导数=1,P对y的偏导数=1,其他3个偏导数都=0
则套用斯托克斯公式得到原曲线积分∮ydx+zdy+xdz=∫∫【∑上】dydz+dzdx+dxdy
把上式右边对坐标的曲面积分化成对面积的曲面积分=∫∫【∑上】（cosα+cosβ+cosγ）dS
其中cosα,cosβ,cosγ就是平面X+y+z=0的指向右上方向的方向余弦,cosα=cosβ=cosγ=1/√3
于是∫∫【∑上】（cosα+cosβ+cosγ）dS=√3∫∫【∑上】dS=√3*（∑的面积）
∑的面积=∏a2,故√3*∏a2为所求原曲线积分的值.
再问： 为什么cosα=cosβ=cosγ=1/√3 ？？
再答： cosα，cosβ，cosγ是平面X+y+z=0的指向右上方向的方向余弦， 就是平面X+y+z=0的指向右上方向的【法向量】的方向余弦， 平面X+y+z=0的2个法向量为±{1，1，1}， 指向右上方向的法向量为{1，1，1}， 把向量{1，1，1}单位化，就是{cosα，cos，cosγ}： 向量{1，1，1}的模=√3， 向量{1，1，1}的单位向量=（1/√3）*{1，1，1}， 也即cosα=cosβ=cosγ=1/√3。
把斯托克斯公式中的各个对象对号入座：其中
①P=y,Q=z,R=x,
②积分曲面∑就取X+y+z=0与X2+y2+z2=a2的交线所围的平面,
③注意Q对z的偏导数=1,R对x的偏导数=1,P对y的偏导数=1,其他3个偏导数都=0
则套用斯托克斯公式得到原曲线积分∮ydx+zdy+xdz=∫∫【∑上】dydz+dzdx+dxdy
把上式右边对坐标的曲面积分化成对面积的曲面积分=∫∫【∑上】（cosα+cosβ+cosγ）dS
其中cosα,cosβ,cosγ就是平面X+y+z=0的指向右上方向的方向余弦,cosα=cosβ=cosγ=1/√3
于是∫∫【∑上】（cosα+cosβ+cosγ）dS=√3∫∫【∑上】dS=√3*（∑的面积）
∑的面积=∏a2,故√3*∏a2为所求原曲线积分的值.
再问： 为什么cosα=cosβ=cosγ=1/√3 ？？
再答： cosα，cosβ，cosγ是平面X+y+z=0的指向右上方向的方向余弦， 就是平面X+y+z=0的指向右上方向的【法向量】的方向余弦， 平面X+y+z=0的2个法向量为±{1，1，1}， 指向右上方向的法向量为{1，1，1}， 把向量{1，1，1}单位化，就是{cosα，cos，cosγ}： 向量{1，1，1}的模=√3， 向量{1，1，1}的单位向量=（1/√3）*{1，1，1}， 也即cosα=cosβ=cosγ=1/√3。
高数题,用斯托克斯公式计算曲线积分
高数 用斯托克斯公式计算曲线积分
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