试证明（p-1）!模p的余数是p-1的充要条件是p为质数.

来源：学生作业帮编辑：灵鹊做题网作业帮分类：数学作业时间：2024/04/28 05:01:30

p=2,命题显然成立；
p=3,命题显然成立；
对于奇质数p>=5,令a∈A={2,3,4.p-2},(其内每个元素都与p互质)
则B={a,2a,3a,.,(p-1)a}中不会有对于除数p同余的两个数；
事实上αa,βa∈B,αa≡βa(mod p),则a|α-β|能被p整除,而a|α-β|∈B,B中的元素不可能被p除尽.
于是B中被p除得的余数形成集合{1,2,3,...,p-1}.
假设B中被p除余一的数是γa:
一若γ=1,则γa=a,它被p除余a,又因为a∈A不等于1,所以γ=1不成立；
二若γ=p-1,则γa=(p-1)a,它被p除余p-a,又因为a∈A不等于p-1,所以γ=p-1不成立；
三若γ=a,则γa=a*a,由于a*a≡1(mod p),故应有a*a-1=(a+1)(a-1)≡0(mod p),
这只能是a=1或a=p-1,此与a∈A矛盾,故不成立；
有一二三知γ≠a且a,γ∈A.
a不同时,γ也相异；
若a1≠a2,a1,a2∈A,且γa1≡γa2≡1(mod p）,因,γa1,γa2∈B,而B中的元素关于mod p不同余,可见a1≠a2,则γ1≠γ2.
即A中的每一个a均可找到与其配对的y,γ∈A使ay≡1(mod p),又,a不同时,γ也相异.
因此,A中的偶数个（p-3个）元素可以分成(p-3)/2个二元组（a,y）,每个二元组都满足ay≡1(mod p),
∴ 1×2×3×4.(p-2)≡1(mod p) 　　p-1≡-1(mod p)
∴ (p-1)!≡-1≡p-1(mod p)
若p不是质数,那么一定存在一个约数k,1

试证明（p-1）!模p的余数是p-1的充要条件是p为质数. 证明或推翻如果p是质数,(p-1)!+1是p的整数倍已知P和P+2都是质数,证明6是P+1的约数. 请证明：1111111111111111111.p个1组成的数减1能被p整除.p>3,p是质数. 求几道质数证明题（1）一个质数p问有多少小于p的正整数和p互质（2）一个质数p是奇数问有多少小于2p的正整数和2p互质证明质数p的开方是无理数如果P与P+2都是大于3的质数,那么请证明6是P+1的约数若p是大于3的质数,证明24整除P²－1 p是一个大于3的质数,证明p^2-1可以被24整除设P是大于3的质数,证明P²－1能被24整除. 若P（P≥5）是一个质数而且P^2-1除以24没有余数,则这种情况数论证明奇素数p能表示成两个正整数的平方和的充要条件是p=4m+1