已知函数f（x）=-x3+ax2+b（a、b∈R）．

来源：学生作业帮编辑：灵鹊做题网作业帮分类：数学作业时间：2024/04/30 03:23:47

已知函数f（x）=-x³+ax²+b（a、b∈R）．
（1）若a＞0，求函数f（x）的单调区间；
（2）若a=1，函数f（x）的图象能否总在直线y=b的下方？说明理由；
（3）若函数f（x）在[0，2]上是增函数，x=2是方程f（x）=0的一个根，求证：f（1）≤-2．

∵f（x）=-x³+ax²+b（a、b∈R）
∴f'（x）=-3x²+2ax=-x（3x-2a）．
（1）若a＞0，令f'（x）=0得x₁=0，x₂=
2a
3，则
2a
3＞0

∴f（x）的单调增区间为：（0，
2a
3），单调递减区间为：（-∞，0），（
2a
3，+∞）
（2）若a=1，由（1）可得f（x）在(0，
2
3)上单调递增，
则x∈(0，
2
3)时，f（x）＞f（0）=b
∴f（x）的图象不可能总在直线y=b的下方．
（3）若函数f（x）在[0，2]上是增函数，则x∈[0，2]时f'（x）=-3x²+2ax≥0恒成立．
即a≥
3x2
2x＝
3
2x对x∈[0，2]恒成立，
∴a≥3．
又f（2）=0，
∴-8+4a=b+0得b=8-4a，
∴f（1）=-1+a+b=7-3a≤-2．

已知函数f（x）=-x3+ax2+b（a、b∈R）．已知函数f(x)=13x3-ax2+bx．（a，b∈R）（2014•天津模拟）已知函数f（x）=x3-3ax2+b（x∈R），其中a≠0，b∈R．（2014•海淀区二模）已知函数f（x）=13x3+ax2+4x+b，其中a、b∈R且a≠0．已知函数f(x)＝13x3+12ax2+bx，a，b∈R，f'（x）是函数f（x）的导函数．已知函数f（x）=x3-ax2+3x，a∈R．已知函数f（x）=x3-ax2-3x，a∈R．已知函数f（x）=ax2+bx+1（a，b∈R）．已知函数f（x）=ax2+bx-lnx，a，b∈R．已知函数f(x)=x3-ax2+bx+3（a,b∈R）,若函数在区间[0,1]上单减,求a2+b2的最小值已知函数f(x)＝13x3−ax2+1（a∈R）．已知函数f（x）=x3-2ax2-3x，x∈R．