已知函数f（x）=ax2+bx-lnx，a，b∈R．

来源：学生作业帮编辑：灵鹊做题网作业帮分类：综合作业时间：2024/04/30 07:26:52

已知函数f（x）=ax²+bx-lnx，a，b∈R．
（1）若a＜0且b=2-a，试讨论f（x）的单调性；
（2）若对∀b∈[-2，-1]，总∃x∈（1，e）使得f（x）＜0成立，求实数a的取值范围．

（1）f′(x)＝2ax+(2−a)−
1
x＝
2ax2+(2−a)x−1
x=
(ax+1)(2x−1)
x（x∈（0，+∞）），
令f′（x）=0，解得 x=-
1
a或x=
1
2
①当-
1
a＜
1
2，即a＜-2时，
令f′（x）＞0，解得-
1
a＜x＜
1
2，
故f（x）的增区间为(−
1
a，
1
2)，减区间为(0，−
1
a)，(
1
2，+∞)；
②当-
1
a=
1
2，即a=-2时，则f′（x）＜0在（0，+∞）上恒成立，
故f（x）在（0，+∞）上单调递减；
③当-
1
a＞
1
2，即a＞-2时，
令f′（x）＞0，解得
1
2＜x＜-
1
a，
故f（x）的增区间为(
1
2，−
1
a)，减区间为(0，
1
2)，(−
1
a，+∞)；
（2）对∀b∈[-2，-1]，都∃x∈（1，e）ax²+bx-lnx＜0成立，
即ax²-x-lnx＜0在（1，e）内有解，亦即a＜
lnx+x
x2在（1，e）内有解，
故只需a＜(
lnx+x
x2)max即可，
令g(x)＝
lnx+x
x2，则g′(x)＝
−x(x−1+2lnx)
x4
∵x∈（1，e）∴g′（x）＜0
∴a＜g

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