我们知道三角形三条中线的交点叫做三角形的重心.经过证明我们可得三角形重心具备下面的性质:重心到顶点的距离与重心到该顶点对
来源:学生作业帮 编辑:灵鹊做题网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/04/28 20:51:26
我们知道三角形三条中线的交点叫做三角形的重心.经过证明我们可得三角形重心具备下面的性质:重心到顶点的距离与重心到该顶点对边中点的距离之比为2﹕1.请你用此性质解决下面的问题.
已知:如图,点O为等腰直角三角形ABC的重心,∠CAB=90°,直线m过点O,过A、B、C三点分别作直线m的垂线,垂足分别为点D、E、F.
(1)当直线m与BC平行时(如图1),请你猜想线段BE、CF和AD三者之间的数量关系并证明;
(2)当直线m绕点O旋转到与BC不平行时,分别探究在图2、图3这两种情况下,上述结论是否还成立?若成立,请给予证明;若不成立,线段AD、BE、CF三者之间又有怎样的数量关系?请写出你的结论,不需证明.
已知:如图,点O为等腰直角三角形ABC的重心,∠CAB=90°,直线m过点O,过A、B、C三点分别作直线m的垂线,垂足分别为点D、E、F.
(1)当直线m与BC平行时(如图1),请你猜想线段BE、CF和AD三者之间的数量关系并证明;
(2)当直线m绕点O旋转到与BC不平行时,分别探究在图2、图3这两种情况下,上述结论是否还成立?若成立,请给予证明;若不成立,线段AD、BE、CF三者之间又有怎样的数量关系?请写出你的结论,不需证明.
(1)猜想:BE+CF=AD(1分)
证明:如图,延长AO交BC于M点,
∵点O为等腰直角三角形ABC的重心
∴AO=2OM且AM⊥BC
又∵EF∥BC∴AM⊥EF
∵BE⊥EF,CF⊥EF
∴EB∥OM∥CF
∴EB=OM=CF
∴EB+CF=2OM=AD.(3分)
(2)图2结论:BE+CF=AD
证明:连接AO并延长交BC于点G,
过G做GH⊥EF于H,
由重心性质可得AO=2OG,
∵∠ADO=∠OHG=90°,∠AOD=∠HOG,
∴△AOD∽△GOH,
∴AD=2HG,(5分)
∵O为重心,
∴G为BC中点,
∵GH⊥EF,BE⊥EF,CF⊥EF,
∴EB∥HG∥CF,
∴H为EF中点,
∴HG=
1
2(EB+CF),
∴EB+CF=AD(7分)
(3)连接AO并延长交BC于点G,AO=2OG,
过G做GH⊥EF于H,再连接BH并延长交CF于R,
得△BEH≌△RFH(AAS),
所以CR=CF-BE=2HG=AD.
证明:如图,延长AO交BC于M点,
∵点O为等腰直角三角形ABC的重心
∴AO=2OM且AM⊥BC
又∵EF∥BC∴AM⊥EF
∵BE⊥EF,CF⊥EF
∴EB∥OM∥CF
∴EB=OM=CF
∴EB+CF=2OM=AD.(3分)
(2)图2结论:BE+CF=AD
证明:连接AO并延长交BC于点G,
过G做GH⊥EF于H,
由重心性质可得AO=2OG,
∵∠ADO=∠OHG=90°,∠AOD=∠HOG,
∴△AOD∽△GOH,
∴AD=2HG,(5分)
∵O为重心,
∴G为BC中点,
∵GH⊥EF,BE⊥EF,CF⊥EF,
∴EB∥HG∥CF,
∴H为EF中点,
∴HG=
1
2(EB+CF),
∴EB+CF=AD(7分)
(3)连接AO并延长交BC于点G,AO=2OG,
过G做GH⊥EF于H,再连接BH并延长交CF于R,
得△BEH≌△RFH(AAS),
所以CR=CF-BE=2HG=AD.
我们知道三角形三条中线的交点叫做三角形的重心.经过证明我们可得三角形重心具备下面的性质:重心到顶点的距离与重心到该顶点对
证明:三角形的三条中线相交于一点,此点称为三角形的重心.重心到顶点与到对边中点的距离之比为2∶1.
如何证明三角形重心定理 重心到顶点的距离与重心到一边的距离比为2:1
向量证明重心性质三角形重心的性质:从重心到顶点的距离等于从重心到顶点到对边中点距离的2倍如何用向量证明
为什么三角形三边中线的交点是三角形的重心,重心到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍;
三角形三边中线的交点是三角形的重心,重心到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍
为什么三角形重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2:1
如何证明三角形重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2:1
关于三角形重心到顶点的距离的问题
已知三角形,求重心到顶点的距离
如何证明重心是到三角形三顶点的距离的平方和最小的点?
请给出三角形的重心的性质的证明(三角形重心与顶点的距离等于它与对边中点的距离的两倍)