灵鹊做题网如何证明三角形重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2:1
来源：学生作业帮 编辑：灵鹊做题网作业帮 分类：综合作业 时间：2023/03/27 01:40:00
如何证明三角形重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2:1
已知：在△ABC中,AD、BE、CF分别是AB、BC、CA边上的中线
求证：(1)AD、BE、CF相交于一点O
(2)AO:OD=BO:OE=CO:OF=2:1
证明：设AD和BE相交于O'
延长O'D到G,使DG=O'D,连接BG
∵BD=DC,O'D=DG
∴BGCO'是平行四边形,∴BE‖CG
在△AGC中,
∵E是AC的中点,EO'‖CG,
∴EO'平分AG,即AO'=O'G
∴AO':O'D=2:1
同理,CF与AD的交点O"也满足AO":O"D=2:1
故O'与O"重合,设为O,即AD、BE、CF相交于一点O
同理可证BO:OE=CO:OF=2:1
证毕.
求证：(1)AD、BE、CF相交于一点O
(2)AO:OD=BO:OE=CO:OF=2:1
证明：设AD和BE相交于O'
延长O'D到G,使DG=O'D,连接BG
∵BD=DC,O'D=DG
∴BGCO'是平行四边形,∴BE‖CG
在△AGC中,
∵E是AC的中点,EO'‖CG,
∴EO'平分AG,即AO'=O'G
∴AO':O'D=2:1
同理,CF与AD的交点O"也满足AO":O"D=2:1
故O'与O"重合,设为O,即AD、BE、CF相交于一点O
同理可证BO:OE=CO:OF=2:1
证毕.
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怎样证明重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1
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