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如图，在△ ABC 中，分别以 AB ， AC 为直径在△ ABC 外作半圆 和半圆 ，其中 和 分别为两个半圆的圆心.

来源：学生作业帮 编辑：灵鹊做题网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/04/29 23:19:11
如图，在△ ABC 中，分别以 AB ， AC 为直径在△ ABC 外作半圆 和半圆 ，其中 和 分别为两个半圆的圆心. F 是边 BC 的中点，点 D 和点 E 分别为两个半圆圆弧的中点.

（1）连结 ，
证明： ；
（2）如图，过点 A 分别作半圆 和半圆 的切线，交 BD 的延长线和 CE 的延长线于点 P 和点 Q ，连结 PQ ，若∠ ACB =90°, DB =5， CE =3，求线段 PQ 的长;

（3）如图三，过点 A 作半圆 的切线，交 CE 的延长线于点 Q ，过点 Q 作直线 FA 的垂线，交 BD 的延长线于点 P ，连结 PA . 证明： PA 是半圆 的切线.
如图，在△ ABC 中，分别以 AB ， AC 为直径在△ ABC 外作半圆 和半圆 ，其中 和 分别为两个半圆的圆心.
∴∠ D F= ∠ F E .
∴ .                                    ………………………….3分
（2）如图二，延长 CA 至 G ，使 AG = AQ ,连接 BG 、 AE .
∵点 E是 半圆 圆弧的中点，
∴ AE=CE=3
∵ AC 为直径
∴∠ A EC =90 ° ，
∴∠ A CE =∠ E A C =45 ° ， AC = = ，
∵ AQ 是半圆 的切线，
∴ CA ⊥ AQ， ∴∠ C AQ =90°，
（3） 证法一：如图三，设直线 FA 与 PQ 的垂足为 M ，过 C 作 CS ⊥ MF 于 S ，过 B 作 BR ⊥ MF 于 R ，连接 DR、AD、DM.
∵ F 是 BC 边的中点，∴ .
∴ BR=CS，
由（2）已证∠ CAQ =90°, AC = AQ,
∴∠2+∠3=90°
∵ FM ⊥ PQ , ∴∠2+∠1=90°，
∴∠1=∠3,
同理：∠2=∠4,
∴ ，
∴ AM=CS，
∴ AM=BR，
同（2）可证 AD=BD， ∠ ADB =∠ ADP =90°,
∴∠ ADB =∠ ARB =90°, ∠ ADP =∠ AMP =90°
∴ A、D、B、R 四点在以 AB 为直径的圆上， A、D、P、M 四点在以 AP 为直径的圆上，
且∠ DBR+ ∠ DAR =180°,
∴∠5=∠8, ∠6=∠7,
∵∠ DAM +∠ DAR =180°,
∴∠ DBR =∠ DAM
∴ ，
∴∠5=∠9,
∴∠ RDM =90°，
∴∠5+∠7=90°，
∴∠6+∠8=90°，
∴∠ PAB =90°，
∴ PA ⊥ AB ,又 AB 是半圆 直径，


略
如图，在△ ABC 中，分别以 AB ， AC 为直径在△ ABC 外作半圆 和半圆 ，其中 和 分别为两个半圆的圆心. 如图，在以AB为直径的半圆上取一点C，分别以AC、BC为直径在△ABC外作半圆AEC和BFC．当C点在什么位置上时，图中 如图，在以AB为直径的半圆上取一点C，分别以AC和BC为直径在△ABC外作半圆AEC和BFC．当C点在什么位置时，图中两 （2013•高淳县一模）如图，在△ABC中，AB=AC，cosA=45．以AB为直径作半圆，圆心为O，半圆分别交BC、A 如图，在等腰三角形△ABC中，O为底边BC的中点，以O为圆心作半圆与AB，AC相切，切点分别为D，E.过半圆上一点F作半 在Rt△ABC中,∠C=90°,分别以AB,AC,BC为边向外作半圆,求证:以斜边为直径的半圆面积等于其余两个半圆的面积 如图，在△ABC中，AB=AC=10，CB=16，分别以AB、AC为直径作半圆，则图中阴影部分面积是（　　） 图,在△ABC中,AB=AC,AB=8,BC=12,分别以AB、AC为直径作半圆,则图中阴影部分的面积是( ) 如图在△ABC中,角C=90°,AC=9,BC=12.O为BC边上一点,以O为圆心,OB为半径作半圆与BC边和AB边分别 如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径的半圆O分别交AB、BC于点D、E． 如图,在RT三角形ABC中,角C=90度,AB=4,分别以AC,BC为直径作半圆,面积分别记为. 已知，如图，在三角形ABC中，AB=AC。以腰AB为直径作半圆O，分别交BC,AC于点D,E 问