圆系方程问题已知圆C:x^2+y^2-2x+4y-4=0,是否存在斜率为1的直线l,使以l被圆截得的弦AB为直径的圆过原

来源：学生作业帮编辑：灵鹊做题网作业帮分类：数学作业时间：2024/04/29 12:33:02

圆系方程问题
已知圆C:x^2+y^2-2x+4y-4=0,是否存在斜率为1的直线l,使以l被圆截得的弦AB为直径的圆过原点?若存在,求出直线的方程,若不存在,说明理由.
我们老师给出一个方法：设直线 y=x+b ,新圆过 ABO三点为 x^2+y^2-2x+4y-4+K【x-y+b】=0,且AB为直径,将上式化简,可以得到Kb=4,因为过原点.然后求最小半径时K值,但是求出来的K=3,b带入直线后,次直线与园相离,为什么,

问题出在,当以 AB 为直径的圆过原点时,直径 AB 未必是最小的.
况且,该方法并不简单,求半径时需要复杂的化简,还需求一个最小值,都是带字母的大运算量.
常规方法完全可以胜任.
设直线方程为 y = x+b ,代入圆方程得 x^2+(x+b)^2-2x+4(x+b)-4=0 ,
化简得 2x^2+2(b+1)x+(b^2+4b-4) = 0 ,
则判别式 = 4(b+1)^2-8(b^2+4b-4) > 0 ,
解得 -3-3√2 < b < -3+3√2 ,----------（1）
设 A（x1,y1）,B（x2,y2）,
由根与系数的关系得 x1+x2 = -(b+1) ,x1*x2 = (b^2+4b-4)/2 ,
因此 y1*y2 = (x1+b)(x2+b) = x1*x2+b(x1+x2)+b^2 = (b^2+2b-4)/2 ,
因为以 AB 为直径的圆过原点,因此 OA丄OB ,
所以 x1*x2+y1*y2 = 0 ,
即 (b^2+4b-4)/2+(b^2+2b-4)/2 = 0 ,
解得 b = 1 或 -4 ,它们都满足（1）,
所以,所求直线方程为 y = x+1 或 y = x-4 .
再问：问题出在：因为是直径，所以过原点，所以不能讲原点提前带入，最后代入原点，就可以求出来了，这是个逻辑错误，我想明白了。其实提前带点消参，圆系就变了，变成定园定直线。