1.已知圆C:x^2+y^2-2x+4y-4=0,是否存在斜率为1的直线l,使以l被圆C所截得的弦AB为直径的圆经过原点

来源：学生作业帮编辑：灵鹊做题网作业帮分类：数学作业时间：2024/04/29 07:58:29

1.已知圆C:x^2+y^2-2x+4y-4=0,是否存在斜率为1的直线l,使以l被圆C所截得的弦AB为直径的圆经过原点?若存在,写出直线l的方程,若不存在.请说明理由.
2.对于任意实数k,直线(3k+2)x-ky-2=0与圆x^2+y^2-2x-2y-2=0的位置关系是___________.

1.圆C：x^2＋y^2－2x＋4y－4＝0,即 (x－1)^2＋(y＋2)^2＝9
设直线l为：y＝x＋t,以l被圆C所截得的弦AB为直径的圆为圆D,
则圆D的圆心轨迹是斜率为-1经过圆C圆心的直线:y＝-x－1
由y＝x＋t和y＝-x－1得到圆D圆心M:((-t-1)/2,(t-1)/2)
若以l被圆C所截得的弦AB为直径的圆经过原点,于是|MO|＝|AB|/2
|MO|＝sqr([(-t-1)/2－0]^2＋[(t-1)/2－0]^2)＝sqr(2t^2＋2)/2
y＝x＋t代入圆C得到：x^2＋(t＋1)x－2＝0,
于是 x1*x2＝-2,x1＋x2＝-(t＋1)
|AB|/2＝sqr((x2－x1)^2＋(y2－y1)^2)/2
＝sqr(2*((x1＋x2)^2－4(x1*x2)))/2
＝sqr(2*((t＋1)^2＋8))/2
所以,sqr(2t^2＋2)/2＝sqr(2*((t＋1)^2＋8))/2,t＝-4
直线l：y＝x－4
2.对于直线(3k＋2)x－ky－2＝0,
于是(3x－y)k＋2(x－1)＝0,
当x－1＝0,3x－y＝0,即x＝1,y＝3时,对于任意实数k,
等式总是成立,直线必经点(1,3)这一点正好在曲线圆上.
所以,对于任意实数k,直线(3k＋2)x－ky－2＝0与圆相交或者相切