求不定积分∫1/[1+ln√x] dx

来源：学生作业帮编辑：灵鹊做题网作业帮分类：数学作业时间：2024/04/29 01:55:59

求不定积分∫1/[1+ln√x] dx

令1+ln√x=t,则x=e^(2t-2),dx=2e^(2t-2)dt
∫ 1/[1+ln√x] dx
=∫ 2e^(2t-2)/t dt
=2/(e^2) * ∫ e^(2t)/t dt
∫ e^(2t)/t dt是超越积分,没有有限解析式
对e^(2t)进行泰勒展开
=2/(e^2) * ∫ (Σ[n=(0,∝)] t^(2n)/(2n!))/t dt
=2/(e^2) * ∫ (1/t + Σ[n=(1,∝)] t^(2n-1)/(2n!)) dt
=2/(e^2) * ( lnt + Σ[n=(1,∝)] t^(2n)/[2n*(2n!)] + C ),C∈R
将1+ln√x=t代入
所以 ∫ 1/[1+ln√x] dx = 2/(e^2) * ( ln(1+ln√x) + Σ[n=(1,∝)] (1+ln√x)^(2n)/[2n*(2n!)] + C ),C∈R
这是一个无限解析式

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