灵鹊做题网已知函数f(x)＝12x2+lnx
来源：学生作业帮 编辑：灵鹊做题网作业帮 分类：综合作业 时间：2024/05/18 03:48:13
已知函数f(x)＝
x
| 1 |
| 2 |
（1）y′＝x+
1
x−2e−a…（2分）
∵y在x=e处取得极值，∴y'x=e=0即e+
1
e−2e−a＝0解得a＝
1
e−e
经检验a＝
1
e−e符合题意，∴a＝
1
e−e…（4分）
（2）∵f′(x)＝x+
1
x，（x＞0），∴f'（x）＞0
∴f（x）在（0，+∞）上单调递增…（5分）
又∴f(
1
e)＝
1
2e2+ln
1
e＝
1
2e2−1＜0
且f(1)＝
1
2+ln1＝
1
2＞0
由二分法可得x0∈(
1
e，1)…（7分）
又∵(
1
e，1)⊆(0，1)
∴b=0…（8分）
（3）设g(x)＝f(x)−c(x−1)−
1
2，g′(x)＝x+
1
x−c，∵x≥1，∴x+
1
x≥2
（ⅰ）若c≤2，当x≥1时，g′(x)＝x+
1
x−c≥0恒成立
故g（x）在（0，+∞）上为增函数，
所以，x≥1时，g（x）≥g（1），即f(x)≥c(x−1)+
1
2．…（9分）
若c＞2，方程g'（x）=0有2根
x1＝
c−
c2−4
2或x2＝
c+
c2−4
2且x1＜1＜x2
此时若x∈（1，x2），则g'（x）＜0，
故g（x）在该区间为减函数
所以x∈（1，x2）时，g（x）＜g（1）=0即f(x)＜c(x−1)+
1
2
与题设f(x)≥c(x−1)+
1
2矛盾
综上，满足条件的c的取值范围是（-∞，2]…（12分）
1
x−2e−a…（2分）
∵y在x=e处取得极值，∴y'x=e=0即e+
1
e−2e−a＝0解得a＝
1
e−e
经检验a＝
1
e−e符合题意，∴a＝
1
e−e…（4分）
（2）∵f′(x)＝x+
1
x，（x＞0），∴f'（x）＞0
∴f（x）在（0，+∞）上单调递增…（5分）
又∴f(
1
e)＝
1
2e2+ln
1
e＝
1
2e2−1＜0
且f(1)＝
1
2+ln1＝
1
2＞0
由二分法可得x0∈(
1
e，1)…（7分）
又∵(
1
e，1)⊆(0，1)
∴b=0…（8分）
（3）设g(x)＝f(x)−c(x−1)−
1
2，g′(x)＝x+
1
x−c，∵x≥1，∴x+
1
x≥2
（ⅰ）若c≤2，当x≥1时，g′(x)＝x+
1
x−c≥0恒成立
故g（x）在（0，+∞）上为增函数，
所以，x≥1时，g（x）≥g（1），即f(x)≥c(x−1)+
1
2．…（9分）
若c＞2，方程g'（x）=0有2根
x1＝
c−
c2−4
2或x2＝
c+
c2−4
2且x1＜1＜x2
此时若x∈（1，x2），则g'（x）＜0，
故g（x）在该区间为减函数
所以x∈（1，x2）时，g（x）＜g（1）=0即f(x)＜c(x−1)+
1
2
与题设f(x)≥c(x−1)+
1
2矛盾
综上，满足条件的c的取值范围是（-∞，2]…（12分）