（2014•江西模拟）已知，如图二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与y轴交于点C（0，4）与x轴交于点A、B，

来源：学生作业帮编辑：灵鹊做题网作业帮分类：综合作业时间：2024/04/29 08:33:02

（2014•江西模拟）已知，如图二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象与y轴交于点C（0，4）与x轴交于点A、B，点B（4，0），抛物线的对称轴为x=1．直线AD交抛物线于点D（2，m），
（1）求二次函数的解析式并写出D点坐标；
（2）点Q是线段AB上的一动点，过点Q作QE∥AD交BD于E，连结DQ，当△DQE的面积最大时，求点Q的坐标；
（3）抛物线与y轴交于点C，直线AD与y轴交于点F，点M为抛物线对称轴上的动点，点N在x轴上，当四边形CMNF周长取最小值时，求出满足条件的点M和点N的坐标．

（2014•江西模拟）已知，如图二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与y轴交于点C（0，4）与x轴交于点A、B，

（1）由题意有：

c＝4
16a+4b+c＝0
−
b
2a＝1，
解得：a=-
1
2，b=1，c=4．
所以，二次函数的解析式为：y=-
1
2x²+x+4，
∵点D（2，m）在抛物线上，即m=-
1
2×2²+2+4=4，
所以点D的坐标为（2，4）

（2）令y=0，即-
1
2x²+x+4=0，解得：x₁=4，x₂=-2
∴A，B点的坐标分别是（-2，0），（4，0）
过点E作EG⊥QB，垂足为G，设Q点坐标为（t，0），
∵QE∥AD，
∴△BEQ与△BDA相似
∴
BQ
AB=
EG
4，即
4−t
6=
EG
4，
∴EG=
8−2t
3，
∴S_△BEQ=
1
2×（4-t）×
8−2t
3，
∴S_△DQE=S_△BDQ-S_△BEQ=
1
2×（4-t）×4-S_△BEQ=2（4-t）-
1
3（4-t）²=-
1
3t²+
2
3t+
8
3后
=-
1
3（t-1）²+3，
∴当t=1时，S_△DQE有最大值，所以此时Q点的坐标为（1，0）；

（3）如图，由A（-2，0），D（2，4），可求得直线AD的解析式为：y=x+2，即点F的坐标为：F（0，2），
过点F作关于x轴的对称点F′，即F′（0，-2），再连接DF′交对称轴于M′，x轴于N′，由条件可知，点C，D是关于对称轴x=1对称
则CF+F′N+M′N′+M′C=CF+DF′=2+2