已知函数y=log1/2(x^2-ax-a)在区间（-∞,1-√3）内是增函数,求实数a的取值范围

来源：学生作业帮编辑：灵鹊做题网作业帮分类：数学作业时间：2024/04/27 21:34:34

已知函数y=log1/2(x^2-ax-a)在区间（-∞,1-√3）内是增函数,求实数a的取值范围
（参考答案为a≥2-（4/3)根号3）

因为函数y=log1/2(x^2-ax-a)在区间（-∞,1-√3）内是增函数
所以x∈（-∞,1-√3）时,真数x^2-ax-a＞0恒成立
即 a/x^2+a/x-1＜0 (因为x^2＞0,所以两边同时除以x^2）恒成立
令t=1/x ,由x∈（-∞,1-√3）得 t∈（-（1+√3）/2,0)
就是当 t∈（-（1+√3）/2,0)时 ,at^2+at-1=a(t+1/2)^2-a/4-1＜0恒成立
若a=0,显然成立；
若a＞0,由二次函数性质,at^2+at-1的最大值是t=-（1+√3）/2时取到
所以只需a(-（1+√3）/2+1/2)^2-a/4-1＜0 即 3a/4-a/4-1＜0
解得a＜2 ,所以 0＜a＜2
若a＜0 ,at^2+at-1的最大值是-a/4-1,所以只需-a/4-1＜0,解得a＞-4,所以 -4＜a＜0
综上所述,要使x∈（-∞,1-√3）时,真数x^2-ax-a＞0恒成立,必须
-4＜a＜0.
又函数可看成是由y=log1/2(t）与t=x^2-ax-a复合而成,根据复合函数单调性的同增异减法则,以及二次函数的性质,必须函数t=x^2-ax-a在对称轴左边的图像也是单调递减的,所以 a/2≥1-√3 ,即a≥2（1-√3）
所以 2（1-√3）≤a＜2