已知椭圆方程x∧2/2+y∧2=1,过点S(0,-1/3)的动直线l交该椭圆于A,B两点

来源：学生作业帮编辑：灵鹊做题网作业帮分类：数学作业时间：2024/05/11 17:52:09

已知椭圆方程x∧2/2+y∧2=1,过点S(0,-1/3)的动直线l交该椭圆于A,B两点
试问：在坐标平面内是否存在一个定点T,使得以AB为直径的圆恒过定点T,若存在求出T的坐标；若不存在,请说明理由.

当直线l与x轴平行时,以AB为直径的圆方程为x²+(y+1/3)²=(4/3)²,
当直线l与y轴重合时,以AB为直径的圆方程为x²+y²=1
∴两圆的切点为点(0,1),
故所求的点T为点(0,1),证明如下．
①当直线l与x轴垂直时,以AB为直径的圆过点(0,1)；
②当直线l与x轴不垂直时,可设直线l：y=kx−1/3,
连立椭圆方程x²/2+y²=1,得：
(18k²+9)x²-12kx-16=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),则：
x1+x2=12k/(18k²+9),x1x2=−16/(18k²+9),
向量TA=(x1,y1-1),向量TB=(x2,y2-1),
∴TA•TB=x1x2+y1y2-y1-y2+1
=(1+k²)x1x2−4/3k×(x1+x2)+16/9
=(-16-16k²)/(18k²+9)-(16k²)/(18k²+9)+16/9
=-(32k²+16)/(18k²+9)+16/9
=0
∴TA⊥TB,即以AB为直径的圆过点(0,1).
综上所述,存在一个定点T(0,1),使得以AB为直径的圆恒过定点T.
【解决这类问题时,可以先假设存在这个定点,再通过特殊位置求出这个定点的坐标,最后求证这个定点符合题意.】
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已知椭圆C:x^2/2+y^2=1.过点S(0,-1/3)的动直线L交椭圆C于A,B两点,问：是否存在一个定点T,使得以已知椭圆C:x^2/4+y^2=1,直线过点P(0,2)与椭圆交于A,B两点,且OA*OB=3,求直线l的方程一直椭圆x^2+y^/2=1过点A（-根号3,0）的直线l交椭圆于M、N两点,以MN为直径的圆恰过椭圆中心,求直线方程已知椭圆方程x^2/2+y^2=1,直线L过点（1,0）,交椭圆于A,B两点,求三角形AOB面积的最大值已知椭圆(x^2)/2+y^2=1及定点P(1,0).过点P的直线l交椭圆于A,B两点,交Y轴于点P,Q,若P,Q在线段已知椭圆x^2/4+y^2/3=1,过椭圆的右焦点的直线l交椭圆于A,B两点,求线段AB的中点的轨迹方程. 已知椭圆的方程为x^2/5+y^2=1,过椭圆的右焦点F作与坐标轴不垂直的直线l,交椭圆于A,B两点.1.设点M(m,0 解析几何代数题,已知椭圆x2/4+y2/3=1，过点(0,-2)的直线l交椭圆于A,B两点,交X轴于P点,点A关于X轴, 已知椭圆1/2 X∧2 +Y∧2 =1及椭圆外一点M(0,2),过这点引直线与椭圆交于A,B两点,求AB中点P的轨迹方程已知椭圆方程为(x^2/9)+(y^2/3)=1,设直线l:y=kx-2与椭圆交于A,B两点,点P(0,1),且PA的绝圆锥曲线计算高手来椭圆方程求出是3x^2+4y^2=12,过点M(1,3/2),过点P的直线L与椭圆C交于不同两点A,B 已知椭圆x^2/2+y^2=1的右焦点F,O为坐标原点,过F的直线l交椭圆于A、B两点