关于集合的上下确界的问题：E={x+y|x€X,y€Y}.X,Y是实数的非空有界集合,证明：Su

来源：学生作业帮编辑：灵鹊做题网作业帮分类：数学作业时间：2024/04/30 07:43:12

关于集合的上下确界的问题：E={x+y|x€X,y€Y}.X,Y是实数的非空有界集合,证明：SupE=supX+SupY,InfE=InfX+InfY

证明：
1,对任意x∈X,有x≤supX ; 对任意y∈Y,有y≤supY,
则对任意x+y∈E,有x+y≤supX+supY,即supX+supY是E的一个上界,
则supE ≤ supX + supY;
2,对任意ε/2>0,X中存在x'>supX-ε/2（由上确界定义可得） ,Y中存在 y'>supY-ε/2（同上）
则对任意ε>0,E中存在e'=x'+y'>(supX+supY)-ε ,即supX+supY是E的最小上界.
综上所述,supE=supX+supY.
同理,可得InfE=InfX+InfY.
证毕.
其实,证明中你要理解不一定非得减去ε/2,只要保证x和y减去的数的和为ε就可以的.用ε/2来证明只是更方便和典型一些.
再问：那如果把E中的x+y换成xy呢
再答：是要证明SupE=supX·supY和InfE=InfX·InfY吗？要保证X和Y中的元素都不小于0，那个式子才能成立。（有负数就不一定成立了）比如X={-2,-5},Y={-3,4}
再问：太给力了，你的回答完美解决了我的问题！

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