灵鹊做题网求secθ³的不定积分（请写过程）
来源：学生作业帮 编辑：灵鹊做题网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/04/28 04:24:00
求secθ³的不定积分（请写过程）
∫ sec³xdx
=∫ secxd(tanx)
=secxtanx-∫ tan²xsecxdx
=secxtanx-∫ (sec²x-1)secxdx
=secxtanx-∫ sec³xdx+∫secxdx
=secxtanx-∫ sec³xdx+ln|secx+tanx|
将-∫ sec³xdx移动等式左边与左边合并,除去系数（别忘记要留常数C在右边）
∫ sec³xdx=(1/2)secxtanx+(1/2)ln|secx+tanx|+C
参考:
∫ sec³x dx = ∫ secx*sec²x dx
= ∫ secx dtanx,分部积分法,sec²x的积分是tanx
= secx*tanx - ∫ tanx dsecx,分部积分法
= secx*tanx - ∫ tanx*(secx*tanx) dx,secx的导数是secx*tanx
= secx*tanx - ∫ secx(sec²x-1) dx,恒等式1+tan²x = sec²x
= secx*tanx - ∫ sec³x dx + ∫ secx dx,将∫sec³x dx移到等号左边,变为2个∫ sec³x dx
2∫sec³x dx = secx*tanx + ∫ secx*(secx+tanx)/(secx+tanx) dx,上下分别乘以secx+tanx
∫ sec³x dx = (1/2)secx*tanx + (1/2)∫ (secx*tanx+sec²x)/(secx+tanx) dx
= (1/2)secx*tanx + (1/2)∫ d(secx+tanx)/(secx+tanx),等同公式∫ 1/u du,u=secx+tanx
∴∫ sec³x dx = (1/2)secx*tanx + (1/2)ln|secx+tanx| + C
递推公式：
∫ (secx)^n dx
= [sinx*(secx)^(n-1)]/(n-1) + (n-2)/(n-1)*∫ (secx)^(n-2) dx
=∫ secxd(tanx)
=secxtanx-∫ tan²xsecxdx
=secxtanx-∫ (sec²x-1)secxdx
=secxtanx-∫ sec³xdx+∫secxdx
=secxtanx-∫ sec³xdx+ln|secx+tanx|
将-∫ sec³xdx移动等式左边与左边合并,除去系数（别忘记要留常数C在右边）
∫ sec³xdx=(1/2)secxtanx+(1/2)ln|secx+tanx|+C
参考:
∫ sec³x dx = ∫ secx*sec²x dx
= ∫ secx dtanx,分部积分法,sec²x的积分是tanx
= secx*tanx - ∫ tanx dsecx,分部积分法
= secx*tanx - ∫ tanx*(secx*tanx) dx,secx的导数是secx*tanx
= secx*tanx - ∫ secx(sec²x-1) dx,恒等式1+tan²x = sec²x
= secx*tanx - ∫ sec³x dx + ∫ secx dx,将∫sec³x dx移到等号左边,变为2个∫ sec³x dx
2∫sec³x dx = secx*tanx + ∫ secx*(secx+tanx)/(secx+tanx) dx,上下分别乘以secx+tanx
∫ sec³x dx = (1/2)secx*tanx + (1/2)∫ (secx*tanx+sec²x)/(secx+tanx) dx
= (1/2)secx*tanx + (1/2)∫ d(secx+tanx)/(secx+tanx),等同公式∫ 1/u du,u=secx+tanx
∴∫ sec³x dx = (1/2)secx*tanx + (1/2)ln|secx+tanx| + C
递推公式：
∫ (secx)^n dx
= [sinx*(secx)^(n-1)]/(n-1) + (n-2)/(n-1)*∫ (secx)^(n-2) dx