特急：设函数f(x)在区间[0,2a]上连续,证明：∫ f(x)dx)=∫ [f(x)+f(2a-x)]dx,

来源：学生作业帮编辑：灵鹊做题网作业帮分类：数学作业时间：2024/04/28 06:50:27

特急：设函数f(x)在区间[0,2a]上连续,证明：∫ f(x)dx)=∫ [f(x)+f(2a-x)]dx,
第一个∫ 符号的上下分别为2a 和0,第二个∫ 符号的上下分别为a和0.
并由此计算∫ [(xsinx) / (1+cos^2 x）］dx.∫ 符号的上下分别为π和0.题目中1+cos^2 x为cos平方的x.

∫[0,a] [f(x)+f(2a-x)]dx
=∫[0,a] f(x)dx+∫[0,a] f(2a-x)dx
令t=2a-x,x=2a-t,dx=-dt,
x=0时,t=2a,x-a时,t=a
因此上式变为
=∫[0,a] f(x)dx+∫[0,a] f(2a-x)dx
=∫[0,a] f(x)dx-∫[2a,a] f(t)dt
=∫[0,a] f(x)dx+∫[a,2a] f(t)dt
=∫[0,2a] f(x)dx
∫ [0,π[(xsinx) / (1+cos^2 x）］dx
=∫[0,π/2] [(xsinx) / (1+cos^2 x）］dx+∫[π/2,π] [(π-x)sin(π-x) / (1+cos^2 (π-x）］dx
∫[(xsinx) / (1+cos^2 x）］dx
=-∫[(x) / (1+cos^2 x）］dcosx
=-xarctan
再问：谢谢，等我仔细学习一下，就给你加分啊。你还能帮忙解答我的其他微积分问题吗？
再答：可以，只是后面这个定积分我积不出来，惭愧！
再问： http://zhidao.baidu.com/question/283303455.html 我的提问和加分在这里面

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