设f‘(x)在[a,b]上连续,且f(a)=0,证明:|∫b a f(x)dx|
来源:学生作业帮 编辑:灵鹊做题网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/04/28 21:49:07
设f‘(x)在[a,b]上连续,且f(a)=0,证明:|∫b a f(x)dx|
求详细过程
求详细过程
设g(x) = ∫ f(t)dt,则g'(x) = f(x),g"(x) = f'(x).
g(x)在[a,b]二阶连续可导,且g(a) = 0,g'(a) = f(a) = 0.
由带Lagrange余项的Taylor展开,存在c∈(a,b)使
g(b) = g(a)+g'(a)(b-a)+g"(c)(b-a)²/2 = f'(c)(b-a)²/2.
即有| ∫ f(t)dt| = |g(b)| = |f'(c)|·(b-a)²/2 ≤ max{|f'(x)|}·(b-a)²/2.
g(x)在[a,b]二阶连续可导,且g(a) = 0,g'(a) = f(a) = 0.
由带Lagrange余项的Taylor展开,存在c∈(a,b)使
g(b) = g(a)+g'(a)(b-a)+g"(c)(b-a)²/2 = f'(c)(b-a)²/2.
即有| ∫ f(t)dt| = |g(b)| = |f'(c)|·(b-a)²/2 ≤ max{|f'(x)|}·(b-a)²/2.
设f‘(x)在[a,b]上连续,且f(a)=0,证明:|∫b a f(x)dx|
设f(x)在[a,b]上连续,且f(b)=a,f(a)=b,证明∫(上b下a)f(x)f'(x)dx=1/2(a
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