∫∫∫z^2dxdydz,其中Ω是两个球：x^2+y^2+z^2≤R^2和x^2+y^2+z^2≤2Rz(R>0)的公共

来源：学生作业帮编辑：灵鹊做题网作业帮分类：数学作业时间：2024/04/28 12:48:54

∫∫∫z^2dxdydz,其中Ω是两个球：x^2+y^2+z^2≤R^2和x^2+y^2+z^2≤2Rz(R>0)的公共部分.
答案是(59/480)πr^5

很简单嘛,你想用哪个方法做?
用切片法的话就先取横截面
x² + y² + z² = R² 和 x² + y² + z² = 2Rz 的交点是
R² = 2Rz
即z = R/2
所以以平面z = R/2将两个球分开
分别是Ω1和Ω2
设Ω1：x² + y² + z² ≤ R²,z ≥ R/2,上面的球体
设Ω2：x² + y² + z² ≤ 2Rz,z ≤ R/2,下面的球体
对于Ω1,横截面Dz1：x² + y² ≤ R² - z²、R/2 ≤ z ≤ R
对于Ω2,横截面Dz2：x² + y² ≤ 2Rz - z²、0 ≤ z ≤ R/2
因此
∫∫∫Ω z² dxdydz
= ∫∫∫Ω1 + ∫∫∫Ω2
= ∫(R/2→R) z² ∫∫Dz1 dxdydz + ∫(0→R/2) z² ∫∫Dz2 dxdydz
= ∫(R/2→R) z² * π(R² - z²) dz + ∫(0→R/2) z² * π(2Rz - z²) dz
= π∫(R/2→R) (R²z² - z⁴) dz + π∫(0→R/2) (2Rz³ - z⁴) dz
= π[R²z³/3 - z⁵/5]：(R/2→R) + π[Rz⁴/2 - z⁵/5]：(0→R/2)
= π[R⁵/3 - R⁵/5] - π[R⁵/24 - R⁵/160] + π[R⁵/32 - R⁵/160]
= (47/480)πR⁵ + (1/40)πR⁵
= (59/480)πR⁵

∫∫∫z^2dxdydz,其中Ω是两个球：x^2+y^2+z^2≤R^2和x^2+y^2+z^2≤2Rz(R>0)的公共求三重积分∫∫∫(x^2+y^2)dxdydz 曲面是x^2+y^2=z^2 和z=2围成的区域计算三重积分∫∫∫z方dxdydz,其中Ω由z=根号下x^2+y^2与z=1和z=2围成的空闭区计算三重积分∫∫∫xy^2z^3dxdydz,其中积分面积是由z=xy,y=x,x=1,z=0所围成的闭区域, 计算三重积分∫∫∫xy^2z^3dxdydz,其中积分面积是由z=xy,y=x,x=1,z=0所围成的闭区域. ∫∫∫(xy)dxdydz ,其中Ω是由柱面x^2+y^2=1及平面z=1,z=0,x=0,y=0所围成的在第一卦限的闭高等数学二重积分：求x^2+y^2+z^2=R^2,与 x^2+y^2+z^2=2Rz所围成图形的体积, 计算三重积分∫∫∫(x+y+z)^2dxdydz,其中积分局域是x^2/a^2+y^2/b^2+z^2/c^2≤1 曲面积分∫∫xdydz+z^2dxdy/(x^2+y^2+z^2),其中曲面∑是由x^2+y^2=R^2及z=R,z=- 计算三重积分,下标积分区域为Ω,求∫∫∫z^3dxdydz ,Ω为x^2+y^2+z^2≤1 ,z+1≥根号下x^2+y 带绝对值的三重积分∫∫∫ |z-x^2+y^2| dxdydz,（注意这里有绝对值）其中空间闭曲面由z=0,z=1及曲面利用三重积分计算下列立体体积 x^2+y^2+z^2=R方与x方+y方+z方=2rz