灵鹊做题网圈圈的 利用函数的凹凸性,证明不等式
来源：学生作业帮 编辑：灵鹊做题网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/04/29 20:16:11
圈圈的 利用函数的凹凸性,证明不等式
(1)构造指数函数f(t)=e^t,
则f'(t)=e^t>0,f''(t)=e^t>0.
故f(t)为下凸函数,
依Jensen不等式得
[f(x)+f(y)]/2>f[(x+y)/2]
(x≠y时为严格不等式)
∴(e^x+e^y)/2>e^[(x+y)/2].
(2)构造函数f(t)=tlnt (t>0),
则f'(t)=lnt+1,f''(t)=1/t>0,
故f(t)为下凸函数,
故依Jensen不等式得
[f(x)+f(y)]/2>f[(x+y)/2]
(x≠y时,为严格不等式)
∴xlnx+ylny>2·[(x+y)/2]ln[(x+y)/2]
即xlnx+ylny>(x+y)ln[(x+y)/2].
(3)构造幂函数f(t)=t^n,
则f'(t)=nt^(n-1),
f''(t)=n(n-1)t^(n-2)>0,
故f(t)为下凸函数,
依Jensen不等式得
[f(x)+f(y)]/2>f[(x+y)/2]
∴(x^n+y^n)/2>[(x+y)/2]^n.
则f'(t)=e^t>0,f''(t)=e^t>0.
故f(t)为下凸函数,
依Jensen不等式得
[f(x)+f(y)]/2>f[(x+y)/2]
(x≠y时为严格不等式)
∴(e^x+e^y)/2>e^[(x+y)/2].
(2)构造函数f(t)=tlnt (t>0),
则f'(t)=lnt+1,f''(t)=1/t>0,
故f(t)为下凸函数,
故依Jensen不等式得
[f(x)+f(y)]/2>f[(x+y)/2]
(x≠y时,为严格不等式)
∴xlnx+ylny>2·[(x+y)/2]ln[(x+y)/2]
即xlnx+ylny>(x+y)ln[(x+y)/2].
(3)构造幂函数f(t)=t^n,
则f'(t)=nt^(n-1),
f''(t)=n(n-1)t^(n-2)>0,
故f(t)为下凸函数,
依Jensen不等式得
[f(x)+f(y)]/2>f[(x+y)/2]
∴(x^n+y^n)/2>[(x+y)/2]^n.