灵鹊做题网第二型曲面积分用高斯公式的一道题
来源：学生作业帮 编辑：灵鹊做题网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/05 14:21:36
第二型曲面积分用高斯公式的一道题
∫∫x^2dydz+y^2dzdx+z^2dxdy,面是x^2+y^2=z^2介于z=0和z=h,h>0,间的部分下侧.我算了好几遍都得0,但答案给的是-∏/2h^4,谁能帮我算一下,我那里算错了,
∫∫x^2dydz+y^2dzdx+z^2dxdy,面是x^2+y^2=z^2介于z=0和z=h,h>0,间的部分下侧.我算了好几遍都得0,但答案给的是-∏/2h^4,谁能帮我算一下,我那里算错了,
结果应该为-πh^4/2 ,而不是-∏/2h^4 更不是0
这道题目满足高斯公式的条件,所以用高斯公式很简单.先添加平面z=h,取上侧.构成一个封闭的曲面,这个封闭曲面整个外侧方向.
于是∫∫x^2dydz+y^2dzdx+z^2dxdy=2∫∫∫（x+y+z）dxdydz -∫∫x^2dydz+y^2dzdx+z^2dxdy(减去的这个积分曲面为z=h ,注最后一定要减去这个添加的平面)
先计算三重积分2∫∫∫（x+y+z）dxdydz =2∫∫∫z dxdydz （这里利用了对称性,因为此三重积分的区域关于平面X=0和y=0对称,且被积式分别为x和y的奇次方,所以它们的积分值为0 ）于是只需要计算 2∫∫∫z dxdydz =2∫（0,2π)dθ∫(0,h) ρ dρ ∫(ρ,h) z dz =πh^4/2
而∫∫x^2dydz+y^2dzdx+z^2dxdy（积分曲面为z=h上侧）=前两项值为0,因为平面z=h分别向x=0 和y=0面投影时的面积为0（实际上投影面为一个线段,知道为什么为0吗?这是因为dydz=cosα dS ,其中cosα=cos90°=0）,所以曲面积分的值为0 .于是只需要计算后面∫∫z^2dxdy =∫∫h^2dxdy 这里已经转化为一个二重积分了 ,根本不需要计算,直接=πh^4
最后结果为πh^4/2 - πh^4 = -πh^4/2
这道题目满足高斯公式的条件,所以用高斯公式很简单.先添加平面z=h,取上侧.构成一个封闭的曲面,这个封闭曲面整个外侧方向.
于是∫∫x^2dydz+y^2dzdx+z^2dxdy=2∫∫∫（x+y+z）dxdydz -∫∫x^2dydz+y^2dzdx+z^2dxdy(减去的这个积分曲面为z=h ,注最后一定要减去这个添加的平面)
先计算三重积分2∫∫∫（x+y+z）dxdydz =2∫∫∫z dxdydz （这里利用了对称性,因为此三重积分的区域关于平面X=0和y=0对称,且被积式分别为x和y的奇次方,所以它们的积分值为0 ）于是只需要计算 2∫∫∫z dxdydz =2∫（0,2π)dθ∫(0,h) ρ dρ ∫(ρ,h) z dz =πh^4/2
而∫∫x^2dydz+y^2dzdx+z^2dxdy（积分曲面为z=h上侧）=前两项值为0,因为平面z=h分别向x=0 和y=0面投影时的面积为0（实际上投影面为一个线段,知道为什么为0吗?这是因为dydz=cosα dS ,其中cosα=cos90°=0）,所以曲面积分的值为0 .于是只需要计算后面∫∫z^2dxdy =∫∫h^2dxdy 这里已经转化为一个二重积分了 ,根本不需要计算,直接=πh^4
最后结果为πh^4/2 - πh^4 = -πh^4/2