灵鹊做题网若函数f（x）=x+ax+lnx
来源：学生作业帮 编辑：灵鹊做题网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/06/12 23:33:48
若函数f（x）=x+
| a |
| x |
（1）由题意，函数f（x）的定义域为{x|x＞0}…（2分）
当a=2时，f(x)＝x+
2
x+lnx，
∴f′(x)＝1−
2
x2+
1
x＝
x2+x−2
x2…（3分）
令f′（x）＞0，即
x2+x−2
x2＞0，得x＜-2或x＞1…（5分）
又因为x＞0，所以，函数f（x）的单调增区间为（1，+∞）…（6分）
（2）f′(x)＝1−
a
x2+
1
x＝
x2+x−a
x2(x＞0) …（7分）
令g（x）=x2+x-a，因为g（x）=x2+x-a对称轴x＝−
1
2＜0，所以只需考虑g（0）的正负，
当g（0）≥0，即a≤0时，在（0，+∞）上g（x）≥0，
即f（x）在（0，+∞）单调递增，f（x）无极值 …（10分）
当g（0）＜0，即a＞0时，g（x）=0在（0，+∞）有解，所以函数f（x）存在极值．…（12分）
综上所述：当a＞0时，函数f（x）存在极值；当a≤0时，函数f（x）不存在极值．…（14分）
当a=2时，f(x)＝x+
2
x+lnx，
∴f′(x)＝1−
2
x2+
1
x＝
x2+x−2
x2…（3分）
令f′（x）＞0，即
x2+x−2
x2＞0，得x＜-2或x＞1…（5分）
又因为x＞0，所以，函数f（x）的单调增区间为（1，+∞）…（6分）
（2）f′(x)＝1−
a
x2+
1
x＝
x2+x−a
x2(x＞0) …（7分）
令g（x）=x2+x-a，因为g（x）=x2+x-a对称轴x＝−
1
2＜0，所以只需考虑g（0）的正负，
当g（0）≥0，即a≤0时，在（0，+∞）上g（x）≥0，
即f（x）在（0，+∞）单调递增，f（x）无极值 …（10分）
当g（0）＜0，即a＞0时，g（x）=0在（0，+∞）有解，所以函数f（x）存在极值．…（12分）
综上所述：当a＞0时，函数f（x）存在极值；当a≤0时，函数f（x）不存在极值．…（14分）