灵鹊做题网已知函数f（x）=x3-ax2-3x
来源：学生作业帮 编辑：灵鹊做题网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/04/30 01:49:42
已知函数f（x）=x3-ax2-3x
（1）若x=-
（1）若x=-
| 1 |
| 3 |
（1）f′（x）=3x2-2ax-3，
∵x=-
1
3是f（x）的极值点，∴f′(−
1
3)＝0，即3×(−
1
3)2−2a×(−
1
3)−3＝0，解得a=4．
经验证a=4满足题意．
∴f（x）=x3-4x2-3x，f′（x）=3x2-8x-3，
令f′（x）=（3x+1）（x-3）=0，解得x=−
1
3或3．
∴当x＜−
1
3或x＞3时，f′（x）＞0，因此函数f（x）在区间(−∞，−
1
3)或（3，+∞）上单调递增；
当−
1
3＜x＜3时，f′（x）＜0，因此函数f（x）在区间(−
1
3，3)上单调递减．
∴函数f（x）在[1，3]上单调递减，在区间[3，4]上单调递增．
又f（1）=-6，f（4）=-12．
∴f（x）在[1，4]上的最大值为f（1）=-6．
（2）∵函数f（x）在区间[1，+∞）是增函数，
∴f′（x）=3x2-2ax-3≥0在[1，+∞）上恒成立，
则
a
3≤1
f′(1)≥0或△＜0，解得a≤0．
∵x=-
1
3是f（x）的极值点，∴f′(−
1
3)＝0，即3×(−
1
3)2−2a×(−
1
3)−3＝0，解得a=4．
经验证a=4满足题意．
∴f（x）=x3-4x2-3x，f′（x）=3x2-8x-3，
令f′（x）=（3x+1）（x-3）=0，解得x=−
1
3或3．
∴当x＜−
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3或x＞3时，f′（x）＞0，因此函数f（x）在区间(−∞，−
1
3)或（3，+∞）上单调递增；
当−
1
3＜x＜3时，f′（x）＜0，因此函数f（x）在区间(−
1
3，3)上单调递减．
∴函数f（x）在[1，3]上单调递减，在区间[3，4]上单调递增．
又f（1）=-6，f（4）=-12．
∴f（x）在[1，4]上的最大值为f（1）=-6．
（2）∵函数f（x）在区间[1，+∞）是增函数，
∴f′（x）=3x2-2ax-3≥0在[1，+∞）上恒成立，
则
a
3≤1
f′(1)≥0或△＜0，解得a≤0．