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如图,在等边△ABC中,D、E、F分别是BC,AC,AB上的点,且DE⊥AC,EF⊥AB,FD⊥BC,则△DEF与△AB

来源:学生作业帮 编辑:灵鹊做题网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/05/02 10:31:57
如图,在等边△ABC中,D、E、F分别是BC,AC,AB上的点,且DE⊥AC,EF⊥AB,FD⊥BC,则△DEF与△ABC的面积之比等于(  )
A. 1:3
B. 2:3
C.
3
如图,在等边△ABC中,D、E、F分别是BC,AC,AB上的点,且DE⊥AC,EF⊥AB,FD⊥BC,则△DEF与△AB
∵DE⊥AC,EF⊥AB,FD⊥BC,
∴∠C+∠EDC=90°,∠FDE+∠EDC=90°,
∴∠C=∠FDE
同理可得:∠B=∠DFE,∠A=DEF,
∴△DEF∽△CAB,
∴△DEF与△ABC的面积之比=(
DE
CA)2
又∵△ABC为正三角形,
∴∠B=∠C=∠A=60°,△EFD是等边三角形,
∴EF=DE=DF,
又∵DE⊥AC,EF⊥AB,FD⊥BC,
∴△AEF≌△CDE≌△BFD,
∴BF=AE=CD,AF=BD=EC,
在Rt△DEC中,
DE=DC×sin∠C=

3
2DC,EC=cos∠C×DC=
1
2DC,
又∵DC+BD=BC=AC=
3
2DC,

DE
CA=

3DC
3DC=

3
3,
∴△DEF与△ABC的面积之比等于:(
DE
CA)2=
1
3=1:3.
故选:A.