求证不等式 x,y,z >0求证27（x+y）^2(y+z)^2*(z+x)^2大于等于64(xy+yz+xz)^3

来源：学生作业帮编辑：灵鹊做题网作业帮分类：数学作业时间：2024/04/29 22:47:38

求证不等式
x,y,z >0
求证27*（x+y）^2*(y+z)^2*(z+x)^2大于等于64(xy+yz+xz)^3

记A=xy>0,B=yz>0,C=xz>0,则由排序不等式易知
A³+B³+C³≥A²B+B²C+C²A,A³+B³+C³≥A²C+C²B+B²A
=>2(A³+B³+C³)≥A²B+B²C+C²A+A²C+C²B+B²A
记S=A²B+B²C+C²A+A²C+C²B+B²A,则
2(A+B+C)(A²+B²+C²)=2(A²(A+B+C)+B²(A+B+C)+C²(A+B+C))
=2(A³+B³+C³+S)≥3S =>2(A³+B³+C³)≥S
又A³+B³+C³≥3ABC
∴64(A+B+C)³=54(A+B+C)³+10(A³+B³+C³+3S+6ABC)
=54(A+B+C)³+10(A³+B³+C³)+27S+27ABC+3S+33ABC
≤54(A+B+C)³+10(A³+B³+C³)+27S+27ABC+6(A³+B³+C³)+11(A³+B³+C³)
=54(A+B+C)³+10(A³+B³+C³)+27S+27ABC+6(A³+B³+C³)+11(A³+B³+C³)
=54(A+B+C)³+27(A³+B³+C³+S+ABC)
=54(A+B+C)³+27(A+B+C)(A²+B²+C²)+27ABC
再记W=A+B+C,则易知A+B+C=xy+yz+xy≤x²+y²+z²
∴上式=54W³+27(A²+B²+C²)W+27ABC
≤27W³+27(x²+y²+z²)W²+27(A²+B²+C²)W+27ABC
=27[W³+(x²+y²+z²)W²+((xy)²+(yz)²+(zx)²)W+(xyz)²]
=27(W+x²)(W+y²)(W+z²)
而W+x²=x²+xy+yz+zx=x²+x(y+z)+yz=(x+y)(x+z)
同理有W+y²=(y+x)(y+z),W+z²=(z+x)(z+y)
∴上式=27(x+y)²(y+z)²(z+x)²
即27(x+y)²(y+z)²(z+x)²≥64(A+B+C)³=64(xy+yz+zx)³

求证不等式 x,y,z >0求证27*（x+y）^2*(y+z)^2*(z+x)^2大于等于64(xy+yz+xz)^3 已知x,y,z 大于0,x+y+z=2,求证 xz/y(y+z)+zy/x(x+y)+yx/z(z+x)大于等于2/3 已知x,y,z是实数,且xyz=1,求证x^2+y^2+z^2+3大于等于2(xy+xz+yz) 已知x>0,y>0,z>0,求证：根号（x^2+xy+y^2）+根号（x^2+xz+z^2）+根号（y^2+yz+z^2 (2X+Z-Y)/(X^2-XY+XZ-YZ)-(Y-Z)/(X^2-XY-XZ+YZ) x,y,z属于R+,求证根号下(x^2+y^2-xy)+根号下(y^2+z^2-yz)大于根号下(x^2+y^2-xz) 1.已知:x^2+y^2+z^2=xy+yz+xz 求证:x=y=z 已知:x^2+y^2+z^2=xy+yz+xz 求证:x=y=z 设x,y,z≥0,且x+y+z=1,求证：0≤xy+yz+xz-2xyz≤7/27 化简(2x-y-z/x^2-xy-xz+yz)+(2y-x-z/y^2-xy-yz+xz)+(2x-x-y/z^2-xz 2^x=5^y=10^z(xyz不等于0）求证xy=yz+xz 求(2X+Z-Y)/(X^2-XY+XZ-YZ)-(2X+Y+Z)/(X^2+XY+XZ+YZ)