已知椭圆x²+y²=1(a>b>0)的离心率为√6/3,短轴的一个端点到右焦点的距离为√3

来源：学生作业帮编辑：灵鹊做题网作业帮分类：数学作业时间：2024/04/28 13:40:54

已知椭圆x²+y²=1(a>b>0)的离心率为√6/3,短轴的一个端点到右焦点的距离为√3
1.求椭圆C的方程.2.设直线L与椭圆C交于A,B两点,坐标原点O到直线的距离为√3/2,求三角形AOB的面积的最大值.
应该是椭圆C：x^2/a^2+y^2/b^2=1（a＞b＞0）的离心率为√6/3,短轴一个端点到右焦点的距离为√3.

先吐槽下,你的方程给错了吧,是x^2/a^2+y^2/b^2=1吧
如果是的话
c=√2,b=1,
所以椭圆方程为：x^2/3+y^2=1
设y=kx+m
(3k^2+1)x^2+6kmx+3m^2-3=0,韦达定理的
xa+xb=-6km/(3k^2+1),xa*xb=(3m^2-3)/(3k^2+1)
(xa-xb)^2=(xa+xb)^2-4xa*xb=(36k^2-12m^2+12)/(3k^2+1)^2
AB|=√(xa-xb)^2+(ya-yb)^2 =√(k^2+1)*(xa-xb)^2 =√(k^2+1)*(36k^2-12m^2+12)/(3k^2+1)^2
因坐标原点O到直线l的距离为√3/2,所以：m^2/k^2+1=3/4,可得：m^2=3(k^2+1)/4
联立上面的式子得|AB|=√3（9k^2+1)(k^2+1)/(3K^2+1)^2 =√3*（1+4k^2/(3K^2+1)^2) ≤2
S△AOB（max）=1/2*|AB|*√3/2=1/2*2*√3/2=√3/2
再问： ��⸴��Ĵ