小明在一次数学兴趣小组活动中,对一个数学问题作如下探究:如图1,四边形ABCD中,AD
来源:学生作业帮 编辑:灵鹊做题网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/06/16 20:14:05
小明在一次数学兴趣小组活动中,对一个数学问题作如下探究:如图1,四边形ABCD中,AD
小明在一次数学兴趣小组活动中,对一个数学问题作如下探究:
如图1,四边形ABCD中,AD∥BC,点E为DC边的中点,连接AE并延长交BC的延长线于点F,求证:S四边形ABCD=S△ABF(S表示面积)
如图2:在已知锐角∠AOB内有一个定点P.过点P任意作一条直线MN,分别交射线OA、OB于点M、N.小明将直线MN绕着点P旋转的过程中发现,△MON的面积存在最小值,请问当直线MN在什么位置时,△MON的面积最小,并说明理由.
实际应用:如图3,若在道路OA、OB之间有一村庄Q发生疫情,防疫部门计划以公路OA、OB和经过防疫站P的一条直线MN为隔离线,建立一个面积最小的三角形隔离区△MON.若测得∠AOB=66°,∠POB=30°,OP=4km,试求△MON的面积.(结果精确到0.1km2)(参考数据:sin66°≈0.91,tan66°≈2.25,
3
≈1.73)
拓展延伸:如图4,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,点A、B、C、P的坐标分别为(6,0)(6,3)(
9
2
,
9
2
)、(4、2),过点p的直线l与四边形OABC一组对边相交,将四边形OABC分成两个四边形,求其中以点O为顶点的四边形面积的最大值.
小明在一次数学兴趣小组活动中,对一个数学问题作如下探究:
如图1,四边形ABCD中,AD∥BC,点E为DC边的中点,连接AE并延长交BC的延长线于点F,求证:S四边形ABCD=S△ABF(S表示面积)
如图2:在已知锐角∠AOB内有一个定点P.过点P任意作一条直线MN,分别交射线OA、OB于点M、N.小明将直线MN绕着点P旋转的过程中发现,△MON的面积存在最小值,请问当直线MN在什么位置时,△MON的面积最小,并说明理由.
实际应用:如图3,若在道路OA、OB之间有一村庄Q发生疫情,防疫部门计划以公路OA、OB和经过防疫站P的一条直线MN为隔离线,建立一个面积最小的三角形隔离区△MON.若测得∠AOB=66°,∠POB=30°,OP=4km,试求△MON的面积.(结果精确到0.1km2)(参考数据:sin66°≈0.91,tan66°≈2.25,
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≈1.73)
拓展延伸:如图4,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,点A、B、C、P的坐标分别为(6,0)(6,3)(
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)、(4、2),过点p的直线l与四边形OABC一组对边相交,将四边形OABC分成两个四边形,求其中以点O为顶点的四边形面积的最大值.
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思路分析:问题情境:根据可以求得△ADE≌△FCE,就可以得出S△ADE=S△FCE就可以得出结论; 问题迁移:根据问题情境的结论可以得出当直线旋转到点P是MN的中点时S△MON最小,过点M作MG∥OB交EF于G.由全等三角形的性质可以得出结论; 实际运用:如图3,作PP1⊥OB,MM1⊥OB,垂足分别为P1,M1,再根据条件由三角函数值就可以求出结论; 拓展延伸:分情况讨论当过点P的直线l与四边形OABC的一组对边OC、AB分别交于点M、N,延长OC、AB交于点D,由条件可以得出AD=6,就可以求出△OAD的面积,再根据问题迁移的结论就可以求出最大值; 当过点P的直线l与四边形OABC的另一组对边CB、OA分别交M、N,延长CB交x轴于T,由B、C的坐标可得直线BC的解析式,就可以求出T的坐标,从而求出△OCT的面积,再由问题迁移的结论可以求出最大值,通过比较久可以求出结论.
问题情境:∵AD∥BC, ∴∠DAE=∠F,∠D=∠FCE. ∵点E为DC边的中点, ∴DE=CE.∵在△ADE和△FCE中,
,
∴△ADE≌△FCE(AAS),
∴S△ADE=S△FCE,
∴S四边形ABCE+S△ADE=S四边形ABCE+S△FCE,
即S四边形ABCD=S△ABF;
问题迁移:出当直线旋转到点P是MN的中点时S△MON最小,如图2,
过点P的另一条直线EF交OA、OB于点E、F,设PF<PE,过点M作MG∥OB交EF于G,
由问题情境可以得出当P是MN的中点时S四边形MOFG=S△MON.
∵S四边形MOFG<S△EOF,
∴S△MON<S△EOF,
∴当点P是MN的中点时S△MON最小;
实际运用:如图3,作PP1⊥OB,MM1⊥OB,垂足分别为P1,M1
在Rt△OPP1中,
∵∠POB=30°,
∴PP1=OP=2,OP1=2.
由问题迁移的结论知道,当PM=PN时,△MON的面积最小,
∴MM1=2PP1=4,M1P1=P1N.
在Rt△OMM1中,
tan∠AOB=![](http://img.wesiedu.com/upload/f/ea/feaadb8b5b58678d126c7dbf21a742da.jpg)
![](http://img.wesiedu.com/upload/0/68/068256c342865fa6d3ae9cbf9270724a.jpg)
![](http://img.wesiedu.com/upload/f/f3/ff33ce595449f8e41612b17cfebc2cc9.jpg)
![](http://img.wesiedu.com/upload/f/60/f60e4110a504caaf55ebacc82c0188e5.jpg)
![](http://img.wesiedu.com/upload/b/e6/be6fe6e7123e9f9954ae7b0862ed3375.jpg)
再问: 我查过解析,但还不明白面积最小和三角形EOF和MON有什么关系
问题情境:∵AD∥BC, ∴∠DAE=∠F,∠D=∠FCE. ∵点E为DC边的中点, ∴DE=CE.∵在△ADE和△FCE中,
,
∴△ADE≌△FCE(AAS),
∴S△ADE=S△FCE,
∴S四边形ABCE+S△ADE=S四边形ABCE+S△FCE,
即S四边形ABCD=S△ABF;
问题迁移:出当直线旋转到点P是MN的中点时S△MON最小,如图2,
![](http://img.wesiedu.com/upload/f/de/fdea2b4f38aa9a8fd312958cc137e0d7.jpg)
由问题情境可以得出当P是MN的中点时S四边形MOFG=S△MON.
∵S四边形MOFG<S△EOF,
∴S△MON<S△EOF,
∴当点P是MN的中点时S△MON最小;
实际运用:如图3,作PP1⊥OB,MM1⊥OB,垂足分别为P1,M1
![](http://img.wesiedu.com/upload/4/d9/4d946203cd4391ae62fca07c568daab8.jpg)
∵∠POB=30°,
∴PP1=OP=2,OP1=2.
由问题迁移的结论知道,当PM=PN时,△MON的面积最小,
∴MM1=2PP1=4,M1P1=P1N.
在Rt△OMM1中,
tan∠AOB=
![](http://img.wesiedu.com/upload/f/ea/feaadb8b5b58678d126c7dbf21a742da.jpg)
![](http://img.wesiedu.com/upload/0/68/068256c342865fa6d3ae9cbf9270724a.jpg)
![](http://img.wesiedu.com/upload/f/f3/ff33ce595449f8e41612b17cfebc2cc9.jpg)
![](http://img.wesiedu.com/upload/f/60/f60e4110a504caaf55ebacc82c0188e5.jpg)
![](http://img.wesiedu.com/upload/b/e6/be6fe6e7123e9f9954ae7b0862ed3375.jpg)
![](http://img.wesiedu.com/upload/7/2c/72c4c30b985daf2059548242095ecc55.jpg)
再问: 我查过解析,但还不明白面积最小和三角形EOF和MON有什么关系
小明在一次数学兴趣小组活动中,对一个数学问题作如下探究:如图1,四边形ABCD中,AD
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