函数f(x)=sinx-sin(x-3x)的最大值

来源：学生作业帮编辑：灵鹊做题网作业帮分类：数学作业时间：2024/04/29 07:19:19

f(x)=sinx-sin(x-3x)=sinx+sin2x
求导,得
f'(x)=cosx+2cos2x=4cos²x+cosx-2
令t=cosx∈[-1,1],则f'(x)=4t²+t-2=g'(t)
f(x)=sinx+sin2x=g(cosx)=g(t),f(x)的最大值即为g(t)的最大值
令g'(x)=0,解得t1=(-1-√33)/8,t2=(-1+√33)/8
∴极值点和端点分别为：
xa=acrcos(-1)=π+2kπ,x1=acrcos(t1)+2kπ,x2=acrcos(t2)+2kπ,xb=acrcos(1)=2kπ
因cosx在[0,π]上是减函数,∴g(t)与f(x)的单调性相反
由g'(x)的图像可知,
当-1≤t<t1时,g'(t)>0,g(t)单调递增,f(x)单调递减；
当t1≤t≤t2时,g'(t)<0,g(t)单调递减,f(x)单调递增；
当t2<t≤1时,g'(t)>0,g(t)单调递增,f(x)单调递减；
由单调性可知,四个特殊点的大小关系显然有：g(-1)<g(t1),g(t1)>g(t2),g(t2)<g(1)
即f(xa)>f(x1),f(x1)<f(x2),f(x2)>f(xb)
∴f(x)的最大值可能在x=xa处或x=x2处,只需比较这两处函数值的大小即可
对于x=xa=π+2kπ,f(xa)=f(π+2kπ)=sin(π)+sin(2π)=0
对于x=x2=acrcos(t2)+2kπ,f(x2)=f(acrcos(t2)+2kπ)=sin(acrcos(t2))+sin(2acrcos(t2))
∵t2=(-1+√33)/8>0,∴0<2acrcos(t2)<π,0<acrcos(t2)<π/2
∴sin(acrcos(t2))>0,sin(2acrcos(t2))>0,∴f(x2)>0=f(xa)
∴函数f(x)的最大值为f(x2)=sin(acrcos((-1+√33)/8))+sin(2acrcos((-1+√33)/8))
图像如下：

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