导数题,7.设导函数f^(x)=x³-2,求limf(1+2t)-f(1-t)/t的值 lim[f(1+3t)

来源：学生作业帮编辑：灵鹊做题网作业帮分类：数学作业时间：2024/05/16 00:45:28

导数题,
7.设导函数f^(x)=x³-2,求limf(1+2t)-f(1-t)/t的值
lim[f(1+3t)-f(1)]/(3t)=lim[f(1+3t)-f(1)]/(3t)
=lim[f(1+2t)-f(1-t)]/(3t)
=(1/3)lim[f(1+2t)-f(1-t)]/t
因为f′(x)=x³-2
所以f′(1)=1-2=-1
所以lim[f(1+3t)-f(1)]/(3t)=-1
所以(1/3)lim[f(1+2t)-f(1-t)]/t=-1
所以lim[f(1+2t)-f(1-t)]/t=-3
f(1+2t)-f(1-t)]/(3t)这一步怎么来的?为什么要变成3t?

根据定义f'(1)=lim[f(1+t)-f(t)]/t,但是题目中所求式中分母是t,但分子两项相差3t,所以若想与f'(1)建立联系,只需在分子上乘3,但此时我们人为地将所求缩小为了原来的1/3,所以要再在整体上乘一个3以保原式不变,即原式等价于3f'(1).又因为f'(x)已知,将x=1带入,求得f'(1)=-1,所以所求式的值为-3.

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