（2013•富宁县模拟）已知抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）的图象经过点B（14，0）和C（0，-8），对称轴为x=

来源：学生作业帮编辑：灵鹊做题网作业帮分类：综合作业时间：2024/04/28 06:35:46

（2013•富宁县模拟）已知抛物线y=ax²+bx+c（a＞0）的图象经过点B（14，0）和C（0，-8），对称轴为x=4．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）点D在线段AB上且AD=AC，若动点P从A出发沿线段AB以每秒1个单位长度的速度匀速运动，同时另一动点Q以某一速度从C出发沿线段CB匀速运动，问是否存在某一时刻，使线段PQ被直线CD垂直平分？若存在，请求出此时的时间（秒）和点Q的运动速度；若不存在，请说明理由．

（1）∵图象经过点B（14，0）和C（0，-8），对称轴为x=4，
∴

196a+14b+c＝0
c＝−8
−
b
2a＝4，
解得

a＝
2
21
b＝−
16
21
c＝−8，
∴抛物线的解析式为y=
2
21x²-
16
21x-8；

（2）存在直线CD垂直平分PQ．
理由如下：令y=0，则
2
21x²-
16
21x-8=0，
整理得，x²-8x-84=0，
解得x₁=-6，x₂=14（为点B坐标），
∴点A的坐标为（-6，0），
在Rt△AOC中，AC=
AO2+CO2=
62+82=10，
∴OD=AD-AO=AC-AO=10-6=4，
∴点D在二次函数的对称轴上，
∵直线CD垂直平分PQ，
∴∠PDC=∠QDC，PD=DQ，
又∵AD=AC，
∴∠PDC=∠ACD，
∴∠QDC=∠ACD，
∴DQ∥AC，
∴DQ是△ABC的中位线，
∴DQ=
1
2AC=
1
2×10=5，
∴AP=AD-PD=AC-DQ=10-5=5，
∵动点P从A出发沿线段AB以每秒1个单位长度的速度匀速运动，
∴t=5÷1=5，
∴存在t=5（秒）时，线段PQ被直线CD垂直平分，
此时，在Rt△BOC中，BC=
CO2+BO2=
82+142=2
65，
∵DQ是△ABC的中位线，
∴CQ=
1
2BC=
1
2×2
65=
65，
∴点Q的运动速度为每秒

65
5单位长度．