设x>-1,用拉格朗日中值定理证明不等式x/x+1≤ln(x+1)≤x
来源:学生作业帮 编辑:灵鹊做题网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/04/29 11:19:57
设x>-1,用拉格朗日中值定理证明不等式x/x+1≤ln(x+1)≤x
[[[[1]]]]
先证明又边不等式
构造函数f(x)=x-ln(1+x),x>-1.
[[1]]
当-1<x<0时,
易知,在区间[x,0]上,由拉格朗日中值定理可知,
存在ξ∈(x,0)
满足f(0)-f(x)=f'(ξ)×(0-x)
∴ln(1+x)-x=-xξ/(1+ξ)
易知,-xξ/(1+ξ)<0
∴ln(1+x)<x
[[2]]
当x=0时,显然,ln(x+1)=x
[[[3]]]
当x>1时.
构造函数f(x)=x-ln(x+1)
易知,在区间[0,x]上,由拉格朗日中值定理可知
存在ξ∈(0,x)
满足f(x)-f(0)=f'(ξ)×(x-0)
∴x-ln(x+1)=[1-(1/(ξ+1))]x=xξ/(ξ+1)>0
∴ln(x+1)<x
综上可知,ln(x+1)≤x
[[[[[2]]]]]
左边同理可证.
先证明又边不等式
构造函数f(x)=x-ln(1+x),x>-1.
[[1]]
当-1<x<0时,
易知,在区间[x,0]上,由拉格朗日中值定理可知,
存在ξ∈(x,0)
满足f(0)-f(x)=f'(ξ)×(0-x)
∴ln(1+x)-x=-xξ/(1+ξ)
易知,-xξ/(1+ξ)<0
∴ln(1+x)<x
[[2]]
当x=0时,显然,ln(x+1)=x
[[[3]]]
当x>1时.
构造函数f(x)=x-ln(x+1)
易知,在区间[0,x]上,由拉格朗日中值定理可知
存在ξ∈(0,x)
满足f(x)-f(0)=f'(ξ)×(x-0)
∴x-ln(x+1)=[1-(1/(ξ+1))]x=xξ/(ξ+1)>0
∴ln(x+1)<x
综上可知,ln(x+1)≤x
[[[[[2]]]]]
左边同理可证.
设x>-1,用拉格朗日中值定理证明不等式x/x+1≤ln(x+1)≤x
用拉格朗日中值定理证明不等式 1.x>ln(1+x) (x>0) 2.1+
中值定理证明不等式ln x > [2(x-1)]/(x+1) 当x>1时恒成立
用拉格朗日中值定理证明:当x>0时,ln(1+x)-lnx>1/1+x
用拉格朗日中值定理证明不等式 当x>0时,x*e^x>e^x-1
用拉格朗日中值定理证明 当x>0时,ln{[(e^x)-1]/x}
用中值定理证明“x/(1+x)<ln(1+x)<x”成立
用拉格朗日中值定理证明e*x>1+x,(x>0)
用拉格朗日中值定理证明当x>0时,ln(1+x)-lnx>1/(1+x)
用中值定理证明不等式2倍根号下x>3-1/x (x>0)
诚心请问:如何用中值定理证明这个不等式:当x>0时,x/(1+x)
使用中值定理,证明:当x>0时,ln(1+x)