灵鹊做题网已知函数f（x）=ax2+x-xlnx，
来源：学生作业帮 编辑：灵鹊做题网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/04/30 01:40:36
已知函数f（x）=ax2+x-xlnx，
（1）若a=0，求函数f（x）的单调区间；
（2）若f（1）=2，且在定义域内f（x）≥bx2+2x恒成立，求实数b的取值范围．
（1）若a=0，求函数f（x）的单调区间；
（2）若f（1）=2，且在定义域内f（x）≥bx2+2x恒成立，求实数b的取值范围．
（1）当a=0时，f（x）=x-xlnx，函数定义域为（0，+∞）．
f'（x）=-lnx，由-lnx=0，得x=1．-------------（3分）
x∈（0，1）时，f'（x）＞0，f（x）在（0，1）上是增函数．x∈（1，+∞）时，f'（x）＜0，f（x）在（1，+∞）上是减函数；-------------（6分）
（2）由f（1）=2，得a+1=2，∴a=1，∴f（x）=x2+x-xlnx，
由f（x）≥bx2+2x，得（1-b）x-1≥lnx，
又∵x＞0，∴b≤1−
1
x−
lnx
x恒成立，-------------（9分）
令g(x)＝1−
1
x−
lnx
x，可得g′(x)＝
lnx
x2，∴g（x）在（0，1]上递减，在[1，+∞）上递增．
∴g（x）min=g（1）=0
即b≤0，即b的取值范围是（-∞，0]．----------（12分）
f'（x）=-lnx，由-lnx=0，得x=1．-------------（3分）
x∈（0，1）时，f'（x）＞0，f（x）在（0，1）上是增函数．x∈（1，+∞）时，f'（x）＜0，f（x）在（1，+∞）上是减函数；-------------（6分）
（2）由f（1）=2，得a+1=2，∴a=1，∴f（x）=x2+x-xlnx，
由f（x）≥bx2+2x，得（1-b）x-1≥lnx，
又∵x＞0，∴b≤1−
1
x−
lnx
x恒成立，-------------（9分）
令g(x)＝1−
1
x−
lnx
x，可得g′(x)＝
lnx
x2，∴g（x）在（0，1]上递减，在[1，+∞）上递增．
∴g（x）min=g（1）=0
即b≤0，即b的取值范围是（-∞，0]．----------（12分）