灵鹊做题网曲面参数方程的面积公式,求推导!
来源：学生作业帮 编辑：灵鹊做题网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/04/30 12:18:14
曲面参数方程的面积公式,求推导!
这里我用雅克比式换元,可是似乎算出来和那个公式不一样,所以请你们给出详细的推导步骤!
设上面那三个雅可比行列式为A,B,C
因为dydz=Adudv=(y'uz'v-y'vz'u)dudv
dzdx=Bdudv=(z'ux'v-z'vx'u)dudv
dxdy=Cdudv=(x'uy'v-x'vy'u)dudv
然后带入
dS=√[(dydz)^2+(dzdx)^2+(dxdy)^2]
整理后,就得到那个式子了
再问： 最后那个dS怎么来的...
再答： ds是三个坐标平面上的投影的平方和的开平方。
这是根据S上一点(x,y,z)处的法向量n=(F'x,F'y,F'z)
然后然后dydz=(F'x / |n|) ds, dzdx=(F'y / |n|) ds, dxdy=(F'z / |n|) ds
得到的
忘了说，曲面的方程可以写作F(x,y,z)=C, C实常数
那个cosα=F'x / |n|,
cosβ=F'y / |n|
cosγ=F'z / |n|
是曲面法向量与三个分量的夹角余弦
因为dydz=Adudv=(y'uz'v-y'vz'u)dudv
dzdx=Bdudv=(z'ux'v-z'vx'u)dudv
dxdy=Cdudv=(x'uy'v-x'vy'u)dudv
然后带入
dS=√[(dydz)^2+(dzdx)^2+(dxdy)^2]
整理后,就得到那个式子了
再问： 最后那个dS怎么来的...
再答： ds是三个坐标平面上的投影的平方和的开平方。
这是根据S上一点(x,y,z)处的法向量n=(F'x,F'y,F'z)
然后然后dydz=(F'x / |n|) ds, dzdx=(F'y / |n|) ds, dxdy=(F'z / |n|) ds
得到的
忘了说，曲面的方程可以写作F(x,y,z)=C, C实常数
那个cosα=F'x / |n|,
cosβ=F'y / |n|
cosγ=F'z / |n|
是曲面法向量与三个分量的夹角余弦