已知函数f（x）在R上满足f（x+y）=f（x）+f（y），且当x＞0时，f（x）＞0，f（1）=2．

来源：学生作业帮编辑：灵鹊做题网作业帮分类：综合作业时间：2024/04/28 16:30:58

已知函数f（x）在R上满足f（x+y）=f（x）+f（y），且当x＞0时，f（x）＞0，f（1）=2．
（1）求f（0）、f（3）的值；
（2）判定f（x）的单调性；
（3）若f（4^x-a）+f（6+2^x+1）＞6对任意x恒成立，求实数a的取值范围．

（1）∵对任意x，y∈R，有f（x+y）=f（x）+f（y），
令x=y=0，则有f（0）=f（0）+f（0），
∴f（0）=0，
令x=y=1，则有f（2）=f（1）+f（1），
∴f（2）=4，
令x=2，y=1，则有f（3）=f（2）+f（1），
∴f（3）=6；
（2）任取x₁，x₂∈R，设x₁＜x₂，∴x₂-x₁＞0，又x＞0时，f（x）＞0，
则有f（x₂）-f（x₁）=f（x₂）+f（-x₁）=f（x₂-x₁）＞0，
∴f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）是R上的增函数；
（3）f（4^x-a）+f（6+2^x+1）＞6恒成立，
由已知及（1）即为f（4^x-a）+f（6+2^x+1）＞f（3）恒成立
∵f（x）是R上的增函数，
∴4^x-a+6+2^x+1＞3恒成立，即4^x+2×2^x+3＞a恒成立，
令g（x）=4^x+2×2^x+3=（2^x+1）²+2
∵2^x＞0，
∴g（x）＞3，
∴a≤3，
即实数a的取值范围为（-∞，3]

已知定义在R上的函数f（x）满足：f(x+y)=f(x)＋f(y),且当x＞0时f(x)＜0;　(1)求f(0)　(2) 已知定义域在R上的函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y),且当x＞0时,f（x）＞0,判断函数奇偶性,幷证明之定义在R上的函数f（x）满足：对于任意的x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y）-2011且当x＞0时，有f（x 已知函数f（x）对于任意的x,y∈R都满足f(x+y)=f(x)+f(y),且当x＞0时f(x)＞0恒成立证明f(x) 已知函数f（x）满足：对任意x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）•f（y）-f（x）-f（y）+2成立，且x＞0时，f 已知函数f（x）定义域在R上的函数,且对任意的x,y都有f（x+y)=f(x)+f(y)-1成立.当x＞0时,f(x)＞已知f(x)对任意x、y（属于R）满足f(x)+f(y)=f(x+y) 且当x>0时,f(x) 已知定义在R上的函数y=f（x）满足f（2+x）=f（2-x），且f（x）是偶函数，当x∈[0，2]时，f（x）=2x- 已知定义在R上的函数f(x)对任意实数x,y都满足f(x+y)=f(x)+f(y),且当x>0时,f（x）>0 若定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+2）=f（x），且当x∈[0，1]时，f（x）=x，则函数y=f（x）=log3 若定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+2）=f（x），且当x∈[0，1]时，f（x）=x，则函数y=f（x）-log3 已知定义在R上的函数f（x）,满足对于任意的x、y∈R,f（x+y）=f（x）+f（y）+1.还满足当x>0时 f（x）