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如图,互相垂直的两条公路AP、AQ旁有一矩形花园ABCD,现欲将其扩建成一个更大的三角形花园AMN,要求点M在射线AP上

来源:学生作业帮 编辑:灵鹊做题网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/06/13 03:36:27
如图,互相垂直的两条公路AP、AQ旁有一矩形花园ABCD,现欲将其扩建成一个更大的三角形花园AMN,要求点M在射线AP上,点N在射线AQ上,且直线MN过点C,其中AB=36米,AD=20米.记三角形花园AMN的面积为S.

(Ⅰ)问:DN取何值时,S取得最小值,并求出最小值;
(Ⅱ)若S不超过1764平方米,求DN长的取值范围.
如图,互相垂直的两条公路AP、AQ旁有一矩形花园ABCD,现欲将其扩建成一个更大的三角形花园AMN,要求点M在射线AP上
(Ⅰ)设DN=x米(x>0),则AN=x+20.
因为DC∥AB,所以△NDC∽△NAM
所以
DN
DC=
AN
AM,
所以
x
36=
x+20
AM,即AM=
36(x+20)
x.
所以S=
1
2×AM×AN=
18(x+20)2
x…(4分)
=18(x+
400
x+40)≥1440,当且仅当x=20时取等号.
所以,S的最小值等于1440平方米.…(8分)
(Ⅱ)由S=
18(x+20)2
x≤1764得x2-58x+400≤0.…(10分)
解得8≤x≤50.
所以,DN长的取值范围是[8,50].…(12分)