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（2014•南平模拟）如图，在正方形ABCD=A1B1C1D1中，AB=2，O为底面正方形A1B1C1D1的中心，E、F

来源：学生作业帮 编辑：灵鹊做题网作业帮 分类：综合作业 时间：2024/05/10 17:22:39
（2014•南平模拟）如图，在正方形ABCD=A1B1C1D1中，AB=2，O为底面正方形A1B1C1D1的中心，E、F分别为A1B1、B1C1的中点，点M为EF上一点，且满足
EM
（2014•南平模拟）如图，在正方形ABCD=A1B1C1D1中，AB=2，O为底面正方形A1B1C1D1的中心，E、F
本题满分（13分）．
（Ⅰ）证明：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，
∵A1C1⊥B1D1，BB1⊥A1C1…（1分）
∵E，F分别为A1B1，B1C1的中点，∴EF∥A1C1…（2分）∴EF⊥B1D1，EF⊥BB1，B1D1∩BB1=B1，∴EF⊥面BB1D1D
又EF⊂面DEF…（3分）∴面DEF⊥面BB1D1D…（4分）
（Ⅱ）∵OP与DM相交，
∴OP与DM确定一个平面α，P为正方体底面ABCD上的点…（5分）
∴平面α∩面ABCD=DP，平面α∩面A1B1C1D1=OM…（6分）
∵在正方体ABCD-A1B1C1D1中，面ABCD∥面A1B1C1D1∴DP∥OM…（7分）
（Ⅲ）如图以D1为原点，D1A1，D1C1，D1D所在直线分别为x轴，
y轴，z轴建立空间直角坐标系，则A1（2，0，0），B1（2，2，0），C1（0，2，0），O（1，1，0），D（0，0，2），E（2，1，0），F（1，2，0）…（8分）
设M（m，n，0），
由

EM＝
2
3

EF，得（m-2，n-1，0）=
2
3(−1，1，0)
解得m＝
4
3，n＝
5
3，即M(
4
3，
5
3，0)…（10分）
由（Ⅱ）可知：面CPD与面ABCD共面，
面DOP与面DOM共面，
面ABCD的一个法向量为

n1＝(0， 0， 1)
设面DOM的一个法向量为

n2＝(x，y，z)，∵

OD＝(−1，  −1，  2)，

OM＝(
1
3，  
2
3，  0)
∴由

n2•

OD＝0

n2•

OM＝0，可得

−x−y+2z＝0

1
3x+
2
3y＝0
令z=1，则x=4，y=-2，即

n2＝(4，  −2，  1)…（12分）
cos〈

n1， 

n2＞＝
1
1×
21＝

21
21，故cosθ＝

21
21…（13分）
如图,在正方形ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是棱C1D1,B1C1的中点,O是底面A1B1C1D1的中心,那么 （2011•东城区模拟）如图，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是正方形，侧棱与底面垂直，点O是正方形A 如图,在正方形ABCD－A1B1C1D1中,E,F,M,N分别为棱AB,CC1,C1D1的中点. 在一个正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为正方形A1B1C1D1四边上的动点，O为底面正方形ABCD的中心，M，N分 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O是正方形BCC1B1的中心，求证： 如图,O,P分别是正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面中心,E是AB的中点,AB=KAA1 3 在正方形ABCD—A1B1C1D1中,O为底面ABCD的中心,F为CC1的中点,求证：A1O⊥平面BDF. 在正方形ABCD—A1B1C1D1中,O为底面ABCD的中心,F为CC1的中点,求证：A1O⊥平面BDF （2013•泉州模拟）已知长方体ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD为正方形，D1D⊥面ABCD，AB=4，AA1 （2012•湛江模拟）底面是正方形的四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，侧棱AA1⊥底面ABCD，E是CC1的中点，O是 在四棱柱ABCD—A1B1C1D1中,AA1⊥底面ABCD,底面ABCD是正方形,AA1=2,AB=1,点E是棱CC1的 如图，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，D1D⊥底面ABCD，底面ABCD是正方形，且AB=1，D1D=2．