灵鹊做题网已知函数f(x)＝1−xax+lnx．
来源：学生作业帮 编辑：灵鹊做题网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/01 07:38:00
已知函数f(x)＝
+lnx
| 1−x |
| ax |
（1）当a＝1时，f(x)＝
1
x+lnx−1，f′(x)＝−
1
x2+
1
x＝
x−1
x2(x＞0)，
令f′（x）=0得x=1．f′（x）＜0得0＜x＜1，f′（x）＞0得1＜x，
∴f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增．
故fmin（x）=f（1）=0．
（2）g(x)＝f(x)−
x
a＝
1−x
ax+lnx−
x
a.g′(x)＝−
1
ax2+
1
x−
1
a＝−
x2−ax+1
ax2．
∵g（x）在（1，2）上不单调，
∴x2-ax+1=0在（1，2）上有根且无重根．
即方程a＝x+
1
x在（1，2）有根，且无重根．
∴2＜a＜
5
2．
1
x+lnx−1，f′(x)＝−
1
x2+
1
x＝
x−1
x2(x＞0)，
令f′（x）=0得x=1．f′（x）＜0得0＜x＜1，f′（x）＞0得1＜x，
∴f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增．
故fmin（x）=f（1）=0．
（2）g(x)＝f(x)−
x
a＝
1−x
ax+lnx−
x
a.g′(x)＝−
1
ax2+
1
x−
1
a＝−
x2−ax+1
ax2．
∵g（x）在（1，2）上不单调，
∴x2-ax+1=0在（1，2）上有根且无重根．
即方程a＝x+
1
x在（1，2）有根，且无重根．
∴2＜a＜
5
2．