已知某3个连续正整数的立方和是完全平方数,求证:这3个正整数的算术平均数是4的倍数.
来源:学生作业帮 编辑:灵鹊做题网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/05/08 11:33:02
已知某3个连续正整数的立方和是完全平方数,求证:这3个正整数的算术平均数是4的倍数.
是道同余问题
错了,是完全立方数
是道同余问题
错了,是完全立方数
首先观察:若n = 3m,则n³ = 27m³ ≡ 0 (mod 9).
若n = 3m+1,则n³ = 27m³+27m²+9m+1 ≡ 1 (mod 9).
若n = 3m-1,则n³ = 27m³-27m²+9m-1 ≡ -1 (mod 9).
因此一个完全立方数mod 9只能同余于0或±1.
3个连续整数的立方和可设为(x-1)³+x³+(x+1)³ = 3x³+6x = 3x(x²+2).
考虑x和x²+2的最大公约数(x,x²+2).
可知(x,x²+2) = (x,x²+2-x·x) = (x,2) = 1或2.
若(x,x²+2) = 1,即x与x²+2互质.
由3x(x²+2)是完全立方数,又被3整除,可知其被27整除.
于是x(x²+2)被9整除,且x(x²+2)/9是完全立方数.
两个互质的数的乘积为完全立方数的9倍,只有两种可能的形式:
x = 9s³,x²+2 = t³或x = t³,x²+2 = 9s³ (其中t不被3整除,否则二者不互质).
但当x = 9s³,有x²+2 = 81s^6+2 ≡ 2 (mod 9),不为完全立方数.
而当x = t³,有x ≡ ±1 (mod 9),于是x²+2 ≡ (±1)²+2 = 3 (mod 9),同样不为完全立方数,矛盾.
于是只有(x,x²+2) = 2,3x(x²+2)是偶完全立方数,有8 | 3x(x²+2).
然而由x为偶数,可设x = 2y,得x²+2 = 4y²+2 = 2(2y²+1).
即x²+2被2整除但不被4整除,于是4 | 3x,即得4 | x,所证结论成立.
若n = 3m+1,则n³ = 27m³+27m²+9m+1 ≡ 1 (mod 9).
若n = 3m-1,则n³ = 27m³-27m²+9m-1 ≡ -1 (mod 9).
因此一个完全立方数mod 9只能同余于0或±1.
3个连续整数的立方和可设为(x-1)³+x³+(x+1)³ = 3x³+6x = 3x(x²+2).
考虑x和x²+2的最大公约数(x,x²+2).
可知(x,x²+2) = (x,x²+2-x·x) = (x,2) = 1或2.
若(x,x²+2) = 1,即x与x²+2互质.
由3x(x²+2)是完全立方数,又被3整除,可知其被27整除.
于是x(x²+2)被9整除,且x(x²+2)/9是完全立方数.
两个互质的数的乘积为完全立方数的9倍,只有两种可能的形式:
x = 9s³,x²+2 = t³或x = t³,x²+2 = 9s³ (其中t不被3整除,否则二者不互质).
但当x = 9s³,有x²+2 = 81s^6+2 ≡ 2 (mod 9),不为完全立方数.
而当x = t³,有x ≡ ±1 (mod 9),于是x²+2 ≡ (±1)²+2 = 3 (mod 9),同样不为完全立方数,矛盾.
于是只有(x,x²+2) = 2,3x(x²+2)是偶完全立方数,有8 | 3x(x²+2).
然而由x为偶数,可设x = 2y,得x²+2 = 4y²+2 = 2(2y²+1).
即x²+2被2整除但不被4整除,于是4 | 3x,即得4 | x,所证结论成立.
已知某3个连续正整数的立方和是完全平方数,求证:这3个正整数的算术平均数是4的倍数.
求证:连续3个正整数的立方和为9的倍数
从某数开始的75个连续正整数的和是完全平方数,这个数的最小值()
证明:4个连续正整数的积与1的和,一定是个完全平方数
证明:4个连续正整数的积加上1一定是完全平方数.
已知连续2008个正整数的和是一个完全平方数,则其中最大的数的最小值是______.
说明:四个连续正整数的积加1一定是个完全平方数.
8个连续正整数,其和表示7个连续正整数和,但不能表示3个连续的正整数的和,这8个连续数中最小值是
3个连续正整数中间1个是完全平方数将这3个连续正整数的积称美妙数问所有小于2010的美妙数的最大公约数是
设平方数Y^2是11个连续正整数的和,求正整数Y的最小值
有三个连续的四位正整数中间1个是完全平方数,且3数之和能被15整除,中间1数的最小值?
某正整数是3和4的倍数,这个数包括1和本身在内共有10个约数,求着个正整数.