灵鹊做题网指数函数及其性质
来源：学生作业帮 编辑：灵鹊做题网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/04/28 06:58:58
指数函数及其性质
/>⑴
∵f(x)是奇函数
∴f(0)＝0,得b＝1
且f(－1)＝－f(1),
即(1－2^(－1))/(a＋2^(－1))＝－[(1－2)/(a＋2)]
解得a＝1
⑵
由⑴知：
f(x)＝(1－2^x)/(1＋2^x)＝[－(2^x＋1)＋2]/(1＋2^x)＝－1＋[2/(1＋2^x)]
任取x1,x2∈R,且x1＜x2
则f(x1)－f(x2)＝[2/(1＋2^x1)]－[2/(1＋2^x2)]＝[2(2^x2－2^x1)]/[(2^x1＋1)(2^x2＋1)]
∵x1＜x2
∴2^x1＜2^x2,则2^x2－2^x1＞0
且(2^x1＋1)(2^x2＋1)＞0
∴f(x1)－f(x2)＞0
即f(x1)＞f(x2)
∴函数f(x)在R上是减函数
⑶
f(t^2－2t)＋f(2t^2－k)＜0
即f(t^2－2t)＜－f(2t^2－k)＝f(k－2t^2) 【奇函数】
即t^2－2t＞k－2t^2对任意t∈R恒成立 【减函数】
即k＜3t^2－2t对任意t∈R恒成立
只需k＜[3t^2－2t]min即可
∵3t^2－2t＝3(t^2－2/3t)＝3(t－1/3)^2－1/3
当t＝1/3时,有最小值－1/3
∴k＜－1/3
∴k的取值范围为(－∞,－1/3).
∵f(x)是奇函数
∴f(0)＝0,得b＝1
且f(－1)＝－f(1),
即(1－2^(－1))/(a＋2^(－1))＝－[(1－2)/(a＋2)]
解得a＝1
⑵
由⑴知：
f(x)＝(1－2^x)/(1＋2^x)＝[－(2^x＋1)＋2]/(1＋2^x)＝－1＋[2/(1＋2^x)]
任取x1,x2∈R,且x1＜x2
则f(x1)－f(x2)＝[2/(1＋2^x1)]－[2/(1＋2^x2)]＝[2(2^x2－2^x1)]/[(2^x1＋1)(2^x2＋1)]
∵x1＜x2
∴2^x1＜2^x2,则2^x2－2^x1＞0
且(2^x1＋1)(2^x2＋1)＞0
∴f(x1)－f(x2)＞0
即f(x1)＞f(x2)
∴函数f(x)在R上是减函数
⑶
f(t^2－2t)＋f(2t^2－k)＜0
即f(t^2－2t)＜－f(2t^2－k)＝f(k－2t^2) 【奇函数】
即t^2－2t＞k－2t^2对任意t∈R恒成立 【减函数】
即k＜3t^2－2t对任意t∈R恒成立
只需k＜[3t^2－2t]min即可
∵3t^2－2t＝3(t^2－2/3t)＝3(t－1/3)^2－1/3
当t＝1/3时,有最小值－1/3
∴k＜－1/3
∴k的取值范围为(－∞,－1/3).