灵鹊做题网求教一道考研数学极限问题
来源：学生作业帮 编辑：灵鹊做题网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/06/12 21:24:20
求教一道考研数学极限问题
这道题见于2014李永乐全书的P33,第三大题的第一问的第14小题.
答案说解这道题要先用求极限的四则运算法则,再用等价无穷小代换.
但是书前面的概念说等价无穷小代换只有在乘除情况下才可以,这道题是加减,为什么也可以进行无穷小代换呢?
这道题见于2014李永乐全书的P33,第三大题的第一问的第14小题.
答案说解这道题要先用求极限的四则运算法则,再用等价无穷小代换.
但是书前面的概念说等价无穷小代换只有在乘除情况下才可以,这道题是加减,为什么也可以进行无穷小代换呢?
可以将误差项写出来.
ln(1+3/x) = 3/x+o(1/x),进而sin(ln(1+3/x)) = 3/x+o(1/x).
ln(1+1/x) = 1/x+o(1/x),进而sin(ln(1+1/x)) = 1/x+o(1/x).
相减得sin(ln(1+3/x))-sin(ln(1+1/x)) = 2/x+o(1/x).
乘以x得x(sin(ln(1+3/x))-sin(ln(1+1/x))) = 2+o(1).
即得lim{x→∞} x(sin(ln(1+3/x))-sin(ln(1+1/x))) = 2.
ln(1+3/x) = 3/x+o(1/x),进而sin(ln(1+3/x)) = 3/x+o(1/x).
ln(1+1/x) = 1/x+o(1/x),进而sin(ln(1+1/x)) = 1/x+o(1/x).
相减得sin(ln(1+3/x))-sin(ln(1+1/x)) = 2/x+o(1/x).
乘以x得x(sin(ln(1+3/x))-sin(ln(1+1/x))) = 2+o(1).
即得lim{x→∞} x(sin(ln(1+3/x))-sin(ln(1+1/x))) = 2.