已知抛物线y2=2px(p>0)上有两点A B ,关于M(2,2)对称

来源：学生作业帮编辑：灵鹊做题网作业帮分类：数学作业时间：2024/04/28 17:49:43

已知抛物线y2=2px(p>0)上有两点A B ,关于M(2,2)对称
1.求P取值范围
2.P=2时,AB的垂直平分线交该抛物线于C D,平面内是否存在一点N到A B C D 四点距离相等,若存在,求出N坐标

1、
因为A,B关于M(2,2)对称,所以,AB中点为M(2,2)
则可设AB：x=m(y-2)+2,A(x1,y1),B(x2,y2)
（显然直线斜率存在且不为0,斜率不存在的话,弦的中点肯定在x轴上；斜率为0时,只有一个交点）
（另注：这种直线设法是为了方便消元,m不是斜率,是斜率的倒数）
则：y1+y2=4,
x=m(y-2)+2
y²=2px
联列方程组,消去x得：
y²=2p[m(y-2)+2]
y²-2pmy+4pm-4p=0 ①
y1+y2=2pm=4
得：m=2/p代入①式,方程化为：y²-4y+8-4p=0
该方程有两个解,则：△=16-4(8-4p)>0,得：p>1
所以,p的取值范围是：p>1
2、
p=2时,由（1）知：m=2/p=1,此时抛物线方程为：y²=4x
所以,AB的方程为：y=x
则AB的垂直平分线CD为：y=-(x-2)+2,即：y=-x+4
y=-x+4
y²=4x
联列,消去x,得：y²=4(-y+4),
y²+4y-16=0
y1+y2=-4,则：x1+x2=-y1+4-y2+4=12
即CD的中点为(6,-2)
CD的垂直平分线为：y=x-8
到A,B距离相等的点肯定在AB的垂直平分线CD：y=-x+4上,
到C,D距离相等的点肯定在CD的垂直平分线：y=x-8上,
无需联列就知道,如果存在的话,这个点N就是CD的中点
（因为这个点(6,-2)在AB的垂直平分线,又在CD的垂直平分线上）
所以,如果存在的话,则N(6,-2)
该点已经满足了NA=NB,NC=ND
下面我们要解出A,B,C,D
y=x
y²=4x
解得：A(0,0),B(4,4)
y=-x+4
y²=4x
解得：C(6-√15,-2+√15),D(6+√15,-2-√15)
NA²=40,NC²=30
显然不等.
所以,不存在满足题意的点N

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