灵鹊做题网利用函数的图形的凹凸性证明不等式(m^m+n^n)^2>4((m+n)/2)^(m+n)),其中m>0,n>0.
来源：学生作业帮 编辑：灵鹊做题网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/04/29 21:00:14
利用函数的图形的凹凸性证明不等式(m^m+n^n)^2>4((m+n)/2)^(m+n)),其中m>0,n>0.
构造函数f(t)＝t^t (t>0),易得
f"(t)＝t^t·(lnt+1)²+t^(t-1)·(t+1)>0,
∴f(t)＝t^t (t>0)是下凸函数.
故依Jensen不等式,可得
f(m)+f(n)≥2f[(m+n)/2]
→m^m+n^n≥2[(m+n)/2]^[(m+n)/2].
上式两边平方,即得
(m^m+n^n)^2≥4[(m+n)/2]^(m+n).
显然,m＝n时,上式取等.
故原不等式得证.
f"(t)＝t^t·(lnt+1)²+t^(t-1)·(t+1)>0,
∴f(t)＝t^t (t>0)是下凸函数.
故依Jensen不等式,可得
f(m)+f(n)≥2f[(m+n)/2]
→m^m+n^n≥2[(m+n)/2]^[(m+n)/2].
上式两边平方,即得
(m^m+n^n)^2≥4[(m+n)/2]^(m+n).
显然,m＝n时,上式取等.
故原不等式得证.
利用函数的图形的凹凸性证明不等式(m^m+n^n)^2>4((m+n)/2)^(m+n)),其中m>0,n>0.
m(m+n)(m-n)-m(m+n)的平方,其中m+n=1,mn=-1/2
3m(m-n)-2n(m-n)的平方
证明(m+n)²/2+(m+n)/4≥(m√n)+(n√m)
[(m+n)(m-n)-(m-n)²+2n(m-n)]÷4n
先化简,在求值(m+n)(m-n)(-m^2-n^2)-（-2m+n)(-2m-n)(4m^2+n^2) 其中m=1,n
m-n+2n^2/(m+n)
(m-n)^2 +n(n- m)
（m-n)+2n（m-n)
如果关于x的不等式(2m-n)x+m-5n>0 (n
如果m,n是任意给定的正整数（m＞n）,证明：m+n、2mn、m-n是勾股数
[(m-n)^2*(m-n)^3]^2/(m-n)^4