灵鹊做题网被一个初中的数学证明题困扰了半天!
来源：学生作业帮 编辑：灵鹊做题网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/04/30 18:32:17
被一个初中的数学证明题困扰了半天!
如题
如题
假设非正三角形△A'B'C'满足题意,则此时∠A',∠B',∠C'三个角中必有一个大于60一个小于60.
不妨设∠A'>60,∠B'sin∠A(既然题目中给"如图"了,在这儿就先默认A,B,C和∠BED,∠ADF,∠CFE都是锐角,
否则的话还得讨论下钝角的情况,那种显然也不成立,不过我就不证了)
从而得出sin∠ADF∠BDE.(因为△B'DE和△BDE的内角和都是180)
又因为∠B'DE+∠A'DF=180- ∠EDF=120
∠BDE+∠ADF=180-∠FDE=120
但是∠B'DE>∠BDE,∠A'DF>∠ADF 矛盾.
故△ABC是正三角形.
@我是石崇的BOSS
再问： 正弦定理的话确实可以，但这是初中水平的题目，以初中的方法无非相似全等反证法。
再答： 假设∠A∠B∠C中∠A最大， 则BC大于其它两边， 所以BE>CF和AD， 所以∠BDE在对应的3个角中最大，根据上述原理可得所以∠B在对应的三个角中最小 因为∠A在对应的三个角中最大， 所以∠ADF在对应的三个角中最大（相等边的底角） ∠ADF+60度=∠BED+∠B 因为∠ADF>∠BED，所以∠B>60度 三角形中，最小的角大于60度，是不可能的。 所以三个角都等于60度
不妨设∠A'>60,∠B'sin∠A(既然题目中给"如图"了,在这儿就先默认A,B,C和∠BED,∠ADF,∠CFE都是锐角,
否则的话还得讨论下钝角的情况,那种显然也不成立,不过我就不证了)
从而得出sin∠ADF∠BDE.(因为△B'DE和△BDE的内角和都是180)
又因为∠B'DE+∠A'DF=180- ∠EDF=120
∠BDE+∠ADF=180-∠FDE=120
但是∠B'DE>∠BDE,∠A'DF>∠ADF 矛盾.
故△ABC是正三角形.
@我是石崇的BOSS
再问： 正弦定理的话确实可以，但这是初中水平的题目，以初中的方法无非相似全等反证法。
再答： 假设∠A∠B∠C中∠A最大， 则BC大于其它两边， 所以BE>CF和AD， 所以∠BDE在对应的3个角中最大，根据上述原理可得所以∠B在对应的三个角中最小 因为∠A在对应的三个角中最大， 所以∠ADF在对应的三个角中最大（相等边的底角） ∠ADF+60度=∠BED+∠B 因为∠ADF>∠BED，所以∠B>60度 三角形中，最小的角大于60度，是不可能的。 所以三个角都等于60度