灵鹊做题网柯西不等式习题求详解!
来源：学生作业帮 编辑：灵鹊做题网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/04/28 12:51:13
柯西不等式习题求详解!
这个解答我没看懂。谁给个详细点的啊。。。
第一步用柯西不等式应该没有问题吧?记原式为S,要证S >= 2
于是用了一步柯西不等式,给S乘了一个式子H得到：
H * S >= (a+b+c+3) ^ 2
那么S >= (a+b+c+3) ^ 2 / H
所以如果证得(a+b+c+3) ^ 2 / H >= 2,自然就有S >= 2
下面证明(a+b+c+3) ^ 2 >= 2 * H
首先把2* H 给算出来（不要怕麻烦,直接展开就可以,利用一点对称性）
2 * H = 2 * [ab + bc + ca + 3(a+b+c) + 6]
要证(a+b+c+3) ^2>= 2*H = 2(ab+bc+ca) + 6 * (a+b+c) + 12
即(a+b+c)^2 + 6 * (a+b+c) + 9 >= 2(ab+bc+ca) + 6 (a+b+c) + 12
即(a+b+c)^2 -2(ab+bc+ca) >= 3
即a^2 + b^2 + c^2 >= 3
这就是条件
于是用了一步柯西不等式,给S乘了一个式子H得到：
H * S >= (a+b+c+3) ^ 2
那么S >= (a+b+c+3) ^ 2 / H
所以如果证得(a+b+c+3) ^ 2 / H >= 2,自然就有S >= 2
下面证明(a+b+c+3) ^ 2 >= 2 * H
首先把2* H 给算出来（不要怕麻烦,直接展开就可以,利用一点对称性）
2 * H = 2 * [ab + bc + ca + 3(a+b+c) + 6]
要证(a+b+c+3) ^2>= 2*H = 2(ab+bc+ca) + 6 * (a+b+c) + 12
即(a+b+c)^2 + 6 * (a+b+c) + 9 >= 2(ab+bc+ca) + 6 (a+b+c) + 12
即(a+b+c)^2 -2(ab+bc+ca) >= 3
即a^2 + b^2 + c^2 >= 3
这就是条件