如图1，已知平面直角坐标系内，A（0，3），B（-4，0），C为x轴上正半轴上一点，若P为OB延长线上一点，PM⊥CA于

来源：学生作业帮编辑：灵鹊做题网作业帮分类：综合作业时间：2024/04/28 09:22:50

如图1，已知平面直角坐标系内，A（0，3），B（-4，0），C为x轴上正半轴上一点，若P为OB延长线上一点，PM⊥CA于M，且∠CPM=

（1）∵PM⊥CA，
∴∠CPM+∠ACO=90°，
∵∠ACO+∠OAC=90°，
∴∠CPM=∠OAC，
又∵∠CPM=
1
2∠BAC，
∴∠OAB=∠OAC，
在△AOB和△AOC中，

∠OAB＝∠OAC
AO＝AO
∠AOB＝∠AOC，
∴△AOB≌△AOC（ASA），
∴OC=OB=4，AB=AC，
∴点C（4，0）；

（2）∵A（0，3），B（-4，0），
∴OA=3，OB=4，
由勾股定理得，AC=
32+42=5，
∵AB=AC，
∴∠ACO=∠ABO，
∵∠PBN=∠ABO（对顶角相等），
∴∠PBN=∠ACO=∠ABO，
∴PM=PC•sin∠ACO=
3
5PC，
PN=PB•sin∠ACO=
3
5PB，
∴PM-PN=
3
5PC-
3
5PB=
3
5BC=
3
5×（4+4）=
24
5，为定值；

（3）过点Q作QM⊥BC于M，作QN⊥CD于N，
∵△BCD是等边三角形，Q为BD边的中点，
∴∠CBD=∠BDC=60°，BQ=DQ，

在△BQM和△DQN中，

∠CBD＝∠BDC
∠BMQ＝∠DNQ＝90°
BQ＝DQ，
∴△BQM≌△DQN（AAS），
∴QM=QN，BM=DN，
∴BC-BM=CD-DN，
即CM=CN，
∵∠PQE=120°，∠PCE=180°-60°=120°，
∴∠QPM=∠E，
在△PMQ和△ENQ