灵鹊做题网史上最难的几何题!谁敢挑战?!简直比第五公设还难!
来源：学生作业帮 编辑：灵鹊做题网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/04/29 21:54:31
史上最难的几何题!谁敢挑战?!简直比第五公设还难!
已知：四边形EFGH是正方形,AE=BF=CG=DH
求证：四边形ABCD是正方形
证明：反证法.
假设ABCD不是矩形,则必有相邻两个角一个是钝角,另一个不是钝角.
设∠D为钝角,∠C不是钝角,
过G点作AD的垂线,交AD于G1,显然HD＜HG1
过F点作CD的垂线,交CD于F1,显然GC≥GF1,
而HD=GC(已知),所以HG1＞GF1 ①
另一方面,
直角△HG1G≌直角△GF1F(∵∠G1HG＝90°－∠HGG1=∠FGF1,HG=FG)
∴HG1=GF1 ②
①②二者矛盾
∴四边形ABCD是矩形
∴△HDG≌△GCF（直角△中两边对应相等）
∴DG=FC
∴DC=BC
同理,可证AB=BC=DA
∴四边形ABCD为正方形.
再问： ……
再答： 有什么问题吗?
再问： 太感谢了，只是“假设ABCD不是矩形，则必有相邻两个角一个是钝角，另一个不是钝角”这个是定理吗？
再答： 已知：四边形EFGH是正方形，AE=BF=CG=DH 求证：四边形ABCD是正方形 证明：反证法。 假设ABCD不是矩形，则必有相邻两个角一个是钝角，另一个不是钝角。 设∠D为钝角，∠A不是钝角， 过G点作AD的垂线，交AD于D1，显然HD＜HD1 过E点作AD的垂线，交AD于A1，显然AE≥A1E， 而HD=AE(已知)，所以HD1＞A1E ① 另一方面， 直角△HA1E≌直角△GD1H(∵∠A1HE＝90°－∠HGD1=∠HGD1，HE=HG) ∴HD1=A1E ② ①②二者矛盾 ∴四边形ABCD是矩形 ∴△HDG≌△GCF（直角△中两边对应相等） ∴DG=FC ∴DC=BC 同理，可证AB=BC=DA ∴四边形ABCD为正方形。
假设ABCD不是矩形,则必有相邻两个角一个是钝角,另一个不是钝角.
设∠D为钝角,∠C不是钝角,
过G点作AD的垂线,交AD于G1,显然HD＜HG1
过F点作CD的垂线,交CD于F1,显然GC≥GF1,
而HD=GC(已知),所以HG1＞GF1 ①
另一方面,
直角△HG1G≌直角△GF1F(∵∠G1HG＝90°－∠HGG1=∠FGF1,HG=FG)
∴HG1=GF1 ②
①②二者矛盾
∴四边形ABCD是矩形
∴△HDG≌△GCF（直角△中两边对应相等）
∴DG=FC
∴DC=BC
同理,可证AB=BC=DA
∴四边形ABCD为正方形.
再问： ……
再答： 有什么问题吗?
再问： 太感谢了，只是“假设ABCD不是矩形，则必有相邻两个角一个是钝角，另一个不是钝角”这个是定理吗？
再答： 已知：四边形EFGH是正方形，AE=BF=CG=DH 求证：四边形ABCD是正方形 证明：反证法。 假设ABCD不是矩形，则必有相邻两个角一个是钝角，另一个不是钝角。 设∠D为钝角，∠A不是钝角， 过G点作AD的垂线，交AD于D1，显然HD＜HD1 过E点作AD的垂线，交AD于A1，显然AE≥A1E， 而HD=AE(已知)，所以HD1＞A1E ① 另一方面， 直角△HA1E≌直角△GD1H(∵∠A1HE＝90°－∠HGD1=∠HGD1，HE=HG) ∴HD1=A1E ② ①②二者矛盾 ∴四边形ABCD是矩形 ∴△HDG≌△GCF（直角△中两边对应相等） ∴DG=FC ∴DC=BC 同理，可证AB=BC=DA ∴四边形ABCD为正方形。