灵鹊做题网请教1题简单的可分离变量的微分方程习题
来源：学生作业帮 编辑：灵鹊做题网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/04/28 15:35:20
请教1题简单的可分离变量的微分方程习题
Cos ydx+(1+e^(-x))sin ydy=0,(x=0,y|=π/4)
解:分离变量,得,e^x /(1+e^x)dx=-tan ydy
两端积分,得ln(1+e^x)=ln|cos y|+ln C
即1+e^x=Ccosy
代入初始条件：x=0,y=π/4,得C=2^(3/2),
于是 1+e^x=2^(3/2)cosy
上面是给出的答案
问题：两端积分得出的结果为什么不是：ln|cos y|=ln(1+e^x)+ln C,但是根据这样积分,结果跟答案不同的.请问问题出在哪里?
请高手指教,谢谢
Cos ydx+(1+e^(-x))sin ydy=0,(x=0,y|=π/4)
解:分离变量,得,e^x /(1+e^x)dx=-tan ydy
两端积分,得ln(1+e^x)=ln|cos y|+ln C
即1+e^x=Ccosy
代入初始条件：x=0,y=π/4,得C=2^(3/2),
于是 1+e^x=2^(3/2)cosy
上面是给出的答案
问题：两端积分得出的结果为什么不是：ln|cos y|=ln(1+e^x)+ln C,但是根据这样积分,结果跟答案不同的.请问问题出在哪里?
请高手指教,谢谢
接着你的疑问继续向下做.为了区别原过程,这里用C1
ln|cos y|=ln(1+e^x)+ln C1
|cosy|=C1(1+e^x)
代入初始条件：x=0,y=π/4,
cosπ/4=C1(1+e^0)
C1=√2/4=1/2√2=2^(-3/2)
于是 cosy=√2/4(1+e^x)=2^(-3/2)(1+e^x)
而你的答案 1+e^x=2^(3/2)cosy
看这里,做出的结果是一样的,不过就是C和C1互为倒数而已,但是代入初始条件后化简得到的形式是完全一样的,不过一个常数在y侧,一个常数在x侧的不同而已.
ln|cos y|=ln(1+e^x)+ln C1
|cosy|=C1(1+e^x)
代入初始条件：x=0,y=π/4,
cosπ/4=C1(1+e^0)
C1=√2/4=1/2√2=2^(-3/2)
于是 cosy=√2/4(1+e^x)=2^(-3/2)(1+e^x)
而你的答案 1+e^x=2^(3/2)cosy
看这里,做出的结果是一样的,不过就是C和C1互为倒数而已,但是代入初始条件后化简得到的形式是完全一样的,不过一个常数在y侧,一个常数在x侧的不同而已.